a a a a 2x x 1- x1、平方根实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根 （3—10 分）如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ ± ”。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a ≥ 0）≥ 0= a =3、立方根- a （ a <0）；注意 的双重非负性：a ≥ 0如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 - a = -3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思维启动如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？综合探究探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围 1.中被开方数为，根号下的被开方数必须是 才有意义，因此可列出不等式，x 的取值范围是．2. + 有意义，需要列出不等式组为． x 的取值范围a 2⎩是 ．x3.x 的取值范围是 x +1答案：1． 2x ，非负数， 2x ≥ 0 ， x ≥ 0 ．⎧1- x ≥ 0,2． ⎨x ≥ 0. 3． x > -1 ．0 ≤ x ≤ 1． 探究二 根据非负数性质求未知数的值已知 x 、 y 3(y - 2)2= 0 ．1 3(y - 2)2+ 3(y - 2)2= 0 ，你能得到什么结论？．2．由 1，你能求出 x - y 的值吗？．答案：1．∵3(y - 2)2= 0 ．≥ 0 ， 3(y - 2)2≥ 0 ， 3(y - 2)2= 0 = 0 ，2．由 1 得， x -1 = 0 ， x = 1 ； y - 2 = 0 ， y = 2 ．∴ x - y = 1- 2 = -1． 探究三 平方根与简单的一元二次方程 1．由 x 2 -196 = 0 可得 ， 2．据 1 得， x 是 196 的，所以 x =．3．由 1，2 的启示，请你试着求等式16 (x + 2)2- 81 = 0 中的 x 值．．答案：1． x 2 = 196 ． 2．平方根， x = ±14 ．2 2 81 9 1 173．由16 (x + 2)-81 = 0 ，得(x + 2)=，∴ x + 2 =±16 4，∴x =或-．4 4探究四由平方根的意义确定字母的值3a - 22 和2a - 3 都是m 的平方根，求a 和m 的值．1.当3a - 22 与2a - 3 相等时，求a 和m 的值．．2.当3a - 22 与2a - 3 互为相反数时，求a 和m 的值．．3.讨论总结：m 的值为．答案：1．3a - 22 = 2a - 3 ，得a = 19 ，3a - 22 = 3⨯19 - 22 = 35 ，2a - 3 = 35 ，m = 352 = 1225 ．2．3a - 22 + 2a - 3 = 0 ，得a = 5 ，3a - 22 = 3⨯ 5 - 22 =-7 ，2a-3=2⨯5-3=7，m=(-7)2= 72= 49 ．3．m 的值为 1225 或49．探究五利用被开方数非负性求未知数的值已知x 、y 都是有理数，且y =+ 3 ，求y x+1 的平方根．1.表示x - 3 的，则x 的范围是．2.表示x - 3 的，则x 的范围是． 3．由1，2，得x =，y =． 4．讨论总结：y x+1 的平方根是多少？．答案：1．算术平方根，x ≥ 3 ．2．算术平方根，x ≤3．3．x = 3 ，y = 3 ．4．∵ y x+1 = 34 = 81，∴ y x+1 的平方根为±9 ．探究六算术平方根与绝对值相综合题已知2009 -a +=aa - 2010 a - 2010 a - 20092 +15 a - 20092 +15 a - 2010 a - 2010 1. 由式子可以得出 a 的取值范围是什么？．2. 由 1，你能将等式 2009 - a + = a 中的绝对值去掉吗？．3. 由 2，你能求出 a - 20092 的值吗？．4. 讨论总结：求的值．．答案：1．∵ a - 2010 ≥ 0 ，∴ a ≥ 2010 ．2．原式变形为 a - 2009 + = a = 2009 ．3． a - 2010 = 20092 ， a - 20092 = 2010 ．4． a - 20092 +15 = 2010 +15 = 2025 ，∴ = 45 ． 探究七 平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个 36cm 2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是 150cm 2，求原正方形的边长是多少？1. 由题意可知剪掉正方形的边长为cm ．2. 设原正方形的边长为 x cm ，请你用x 表示盒子的容积．．3. 由 1，2 的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．．答案：1．6．2． 6 (x - 6)2．3． 6 (x - 6)2= 150 ， (x - 6)2= 25 ， x - 6 = ±5 ．∴ x = 11 或 x = 1 （舍去）．即原25 121 25 121x 2 4 - y 29 - a 29 - a x - 4 a + b a +1 5正方形的边长为 11cm ．随堂反馈251．的平方根的数学表达式是（ ）121A ． = ±B ．11= - 5 C ． 11=5D ． ± = ± 511112．9 的算术平方根是（ ）A ． -3B ．3C ． ±3D ．813. 当 x = -5 时，的值是（）A ．5B ． -5C ． ±5D ．254. 正方形 M 的面积是正方形 N 的面积的 64 倍，那么正方形 M 的边长是正方形 N 的边长的（ ）A ．4 倍B ．8 倍C ．16 倍D ．2 倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是． 6.= - ，则 xy 的算术平方根为．7. 代数式-5的最大值为．8. 已知 a ， b+ b - 3a -1 = 0 ，求b 2 - 5a 的平方根．9. 如果 a的最大值及此时 a 的值．10. 已知2a -1 的平方根为±3 ， 3a + b -1的平方根为±4 ，求 a + 2b 的平方根．参考答案25 121 25 121a +1 a +1 29 - a 7 79 352(-4)229 - a 9 9 (- 2)2⎩ ⎩1．D 2．B 3．A 4．B 5．0，1 6．4 7． -58．∵ ≥ 0 ， b - 3a -1 ≥ 0 ，+ b - 3a -1 = 0 ，∴ 29 - a ≤ 29 ， ≤ 5 ．因此 的最大值为 5，此时 a 的值为 4．⎧2a -1 = 9,∴ = 0 ， a = -1 ；b - 3a -1 = 0 ， b - 3a -1 = 0 ，10．由题意，得⎨3a + b -1 = ⎧a = 5,⎨b = 2. 解得16. ∴ b = -2 ．∴ b 2 - 5a = 9 ， b 2 - 5a 的平方根为±3 ． 9．∵ a 为正数，∴ a + 2b = 9 ， a + 2b 的平方根为± 3．平方根跟踪练习（一）一、选择题1. 下列各式中无意义的是（）A. - B ． C. 12. 的算术平方根是（）D ． -41 111 A.B ．C ．16823. 下列运算正确的是（）D ． ±2A ． -3 = 3B ． -3 = -3C ． = ±D ． = -3二、填空题4. 若一个正方形的面积为 13，则正方形的边长为.5. 小明房间的面积为 10.8 米 2，房间地面恰好由 120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是.6. 计算：⑴=;⑵ =;⑶ =;⑷－ =;⑸ ( 3)2 = .7. 若下列各式有意义，在后面的横线上写出 x 的取值范围：a +1 - 7(- 7)2x2 4 25 4 25 0.9 b -3 24 25 4 25 179⑴ ⑵8．若 a - 2 + = 0 ，则a 2 -b = ．9. 一个正方形的面积扩大为原来的 4 倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的 9 倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的 n 倍，它的边长变为原来的倍.10.的算数平方根是它本身.三、解答题11. 求下列各数的算术平方根:⑴169⑵0.0256⑶124 25⑷ (- 2)212. 要种一块面积为 615.44 m 2 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π 取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1. 下列说法中不正确的是（）A. - 是 2 的平方根B. 是 2 的平方根C.2 的平方根是 12.的平方根是（） D.2 的算术平方根是 41 111A.B.C.16 8 2423. “ 的平方根是± ”，用数学式子可以表示为（）D. ±225A.= ± 55B. ±= ± 2C. = 25 5D. - = - 2 54. 下列各式中，正确的个数是（）= ±42① = 0.3 ; ② ③ - 3 3 ;的平方根是－3; 5 - x222(- 5)216 (-9)21- a a -1 0.0004(- 0.1)20.81 0.04225713④ 的算术平方根是－5; ⑤ ± 是1 的平方根.6 36A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.若 a 是(- 4)2的平方根，b 的一个平方根是 2，则代数式 a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8 或 0D.4 或－4 二、填空题6. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为．7. 如果正数m 的平方根为 x + 1和x - 3 ，则m 的值是． 8.的算术平方根是， 的平方根是.9. 若b =+ + 4 ，则ab 的平方根是.三、解答题10. 求下列各式的值:⑴ ⑵ - ⑶ ±⑷ - ⑸ - ⑹一、选择题 1．C ． 2．C ．3．A ． 二、填空题4．5．0.96．3；5；2；－4；3跟踪练习一答案7．x≥0；x≤58．19．2；3；10.0 和 1 三、解答题711．13；0.16； ；2512．14跟踪练习二答案12 1 4412 - 40213n一、选择题1．C2．D3．B4．A5.C二、填空题6．367．48.23 或-39．2 或-2三、解答题7 10．⑴15⑵-0.02⑶2⑷-0.1⑸0.7⑹9“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。