0 当i j时
a11 a12 a1n
如： D
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n
a11 A31 a12 A32 a1n A3n 0
1 0 1 2 例4 已知 D 1 1 0 3 , 则下列等于零（ ） 1 1 1 1 2 5 0 4
0 0 1 4 0 2 0 4 1 (1) 3 0 5
0 2 3 0
4 (6) 24
例2 选择题
1 1 D 1、 1 1 0 1 1 2 1 0 1 5 2 3 , 0 4
则D=（ ） C
A. A31 A32 A33 A34
B. A31 2 A32 5A33 4 A34 C. A13 A33 5 A43

2 0
3 1
1 1
0 0
0 8 3 1
(4) 5 (3)
0 0
0 1 1 0 5 1
2 0 0
1 1 1
0 0 8 1
0
0
0
4
(二)、利用“降阶法”计算行列式
所谓降阶法就是应用行列式按行(列) 展开定理，把高阶行列式的计算转化为
低阶行列式的计算。
方法：
先结合行列式的性质，把行列式的某 一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然 后再展开。这是行列式最常用、最有效
(1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M34 (1)44 A44
例3
1 1 已知 D 1 1
0 1 1 x
1 0 1 5
2 3 , 0 4
注意区分余 子式与代数 余子式
(1)、若第二行的余子式为：1,3,0,2 (2)、若第二行的代数余子式为： 1,3,0,2
14 24 34 44 ( 1 ) M ( 1 ) M ( 1 ) M ( 1 ) A44 D. 14 24 34
1 1 2、D 1 1
0 1 1 2
1 0 1 5
2 3 , 0 4
则D=（ ） A
A. A31 A32 A33
B. A31 2 A32 5A33 4 A34 C. A23 A33 2 A43 D.
a11
如
3 D1 5 17
3 D2 5 17
4 0 2
4 0 2
1
1
4 0
4 0 2
5 10 23
3 5
2 4 5
7 25 34
4 4 6 6
4 1 12 5 2
2 17
1
2 D3 4 8
5 0 3
7
2
11 0 0 6
（2）把第一行分别乘以 a21 ,a31 ,,an1
的方法。
行列式展开定理
定理
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n n阶行列式 D an1 an 2 ann
等于它的任意一行(列)中所有元素与它 们对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain aik Aik (i 1,2, n)
1 0 0 0
2 5 6 (1) (1)13 9 3 4 0 7 3 6
3 1 1
6 3 0
5
0
1 1
3 0
3 2
(1) (1)
7 5
6 9 3
3a13 a33 a23 a33
a11 a12 a13 3 (1) a31 a32 a33 a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11 (3) a31 a21 a12 a32 a22 a13 a33 a23
a11 a12 a13 (3) a21 a22 a23 a31 a32 a33
2 3 1 0 (3) 1 (1) 2 3 1 0 4 2 1 1 (2) 2 (1) 0 8 3 1 解： D 2 1 2 1 0 4 3 1 0 1 1 0 0 1 1 0
2 0 (2) (4) 0
3 1 0 1 1 0 4 3 1
3 1 0
(4) 8 (2) (3) 4 (2)
2 1 1 0 0 3 2 1
选零元最多 的行（列）
解：
1 0 2 1 1 0 1 0
2 1 0 2
1 1 0 2 2 (1) (1) 1 3 1 1
2 0 2
1 3 1
1 1 1
2 0 2
1 3 (1) 1
2 1
2 1 2 23 1 3(1) 2 1 1 2
行列式计算方法总结
【练习18】
a11 a12 • 设行列式 a21 a22 a31 a32
3a11 • 则 a31 a21 a31 3a12 a32 a22 a32
a13 a23 =6， a33
3a13 a33 a23 a33
=（
C
）
• A．－12
B．－ 18
C．18
D．12

3a11 3a12 a31 a32 a21 a31 a22 a32
【说明】
1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 3 2 2 4 5
2 4 12 1 (1) 3 5
例1
计算行列式
解：
D
(2) 2 (1)
1 0 2 1 D 1 2 0 3 2 1
2 1 0 2
1 0 3 1
目标：1、最好 首非零元是1 2、最好能化为 三角行列式
加到第 2,3,n 行对应元素上去， 这样 就把第一列 a11 以下的元素全化为零.
再逐次用类似的方法把主对角线以下 (以上)的元素全部化为零.
（3）利用三角行列式求值.
【说明】
在上述变换过程中，主对角线上 元素aii (i 1,2,, n) 不能为零， 若出现零， 可通过行(列)变换使得主对角线上不为 零.
(3) 1 (1)
1
0
0 1 3 2 0 2 2 2
0 3 2 1
(4) 3 (2) (3) 2 (2)
1 0 2 1 0 1 3 2
0 0 0 0
8 2 7 5
8 2 1 (1) 26 7 5
2 3 1 0 例2 4 2 1 1 计算行列式 D 2 1 2 1 0 1 1 0
二、三阶公式 元素为数值 利用性质化简 行列式计算 观察特点化简
基本运算化简
元素为字母
利用性质观察化简
小结
计算行列式常用方法： (1)对角线法（二、三阶）; (2)化三角行列式法； (3)降阶（按行列展开法，选0元较多的）； （4）拆行列式； （5）各行（列）求和（适用类型？）； （6）利用性质化简其他形式．
定理2 行列式D中任意一行(列)的各元素 与 (列)对应元素的代数余子式乘积 另一行 之和等于零，即当 i j 时，
a
k 1
n
ik
A jk 0
或 aki Akj 0
k 1
n
【说明】
综合定理1 和定理2可得： D 当i j 时 n
a
k 1
ki
Akj

k 1 n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
akj Akj ( j 1,2, n)
k 1 n
其中， Aij是元素D在 aij中的代数余子式 称上式为行列式 Dn按第 i 行( j列)的
展开式.
例1
计算行列式
1 0 2 1 1 0 1 0
1 0 1 5
2 3 0 4
1,3,0,2
1,3,0,2
练习
四阶行列式第三行的元素分别是
6,7,3,4, 1,2,10,4,
对应的余子式分别为 求：D
1, 2, 10, 4
提示：第三行的代数余子式为：
D (6) 1 7 2 3 10 4 (4)
22
计算行列式的基本方法
(一)、利用“化三角法”计算行列式 1、数字元素行列式化为三角 行列式的方法 （1）先把 a11变换为1或-1. 1 一般可通过变换行(列)、 乘以第1行 或r1 kri (c1 kci ) 等变换来实现， 要注意保值，同时要避免元素变为分 数，否则将给后面的计算增加困难.
1 3 1
2 12 2
练习
计算
0 0 D 3 8 0 2 0 5 1 0 5 9 0 24 0 __________ _. 0 4
提示：
0 0 D 3 8 0 2 0 5 1 0 5 9 0 0 0 1 0 4 (1) 4 4 0 2 0 0 3 0 5 4
13
求：D
解： (1)、若第二行代数的余子式为：
1, 3, 0 , 2
D (1) (1) 1 3 0 0 3 (2)
2
(2)、D (1) (1) 1 3 0 0 3 (2)
2
1 1 1 1
0 1 1 x
A. A31 A32 A33 A34
B. A31 2 A32 5 A33 4 A34
B
C. A13 A33 5 A43
D.
(1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M34 (1)44 A44
2 5 9 4
4 3 1 1