整数加群<Z,+>， 由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
例－Klein四元群
设G＝{a,b,c,e}，•为G上的二元运算，见下表。
x,y ∈ R*，x∘y=y
为半群，非独异点。
3
元素的幂运算性质
元素的幂运算定义 设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定：
x1 = x xn+1 = xn x, n∈Z+
幂运算规则： xn xm = xn+m (xn)m= xnm ，m, n∈Z+
证明方法：数学归纳法
4
独异点的幂
独异点的幂运算定义 x0 = e x1 = x xn+1 = xn x, n∈N
幂运算规则 xn xm = xn+m (xn)m= xnm ， m, n∈N
5
第十七章 群
群的定义与性质
• 群的定义与实例 • 群中的术语
– 有限群、无限群与群的阶 – Abel群 – 群中元素的幂 – 元素的阶
• 群的性质
– 幂运算规则、 – 群方程的解 – 消去律 – 群的运算表的排列
7
群的定义
第十六章 半群
半群与独异点
定义 (1)设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如
果运算是可结合的，则称V为半群 （semigroup）。 (2)设V＝<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单 位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点 （monoid）。 (P240 定义16.1)
2
实例
(1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>, <C,+>（+是普通加法） 都是半群，除了<Z+,+>外都是独异点，
定义 (P258)设S＝{1,2,…,n}，S上的任何双射函 数σ：S→S称为S上的n元置换。
恒等置换(1)表示无置换
1
(1)
2
(2)
(nn)
29
n元置换的乘法与求逆
两个 n 元置换的乘法就是函数的复合运算 n 元置换的求逆就是求反函数.
例设
15
2 3
3 2
4 1
5 4
,
14
2 3
26
循环群的子群求法
定理(P256 定理17.13) (1) 设G＝<a>是循环群，则G的子群仍是循环
群。 (2) 若G＝<a>是无限循环群，则G的子群除{e}
以外都是无限循环群。 (3) 若G＝<a>是n阶循环群，则对n的每个正
因子d，G恰好含有一个d阶子群。
27
定理说明
• 求循环群的所有子群的方法: • 如果G＝<a>是无限循环群，那么<am>是G的子
3 1
4 2
5 5
1
5
2 1
3 3
4 4
5
2
,
1 1
2 2
3 5
4 3
5
43
1 4
4 1
5
4
2 3
3 2
4 5
5 1
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n元置换群及其实例
考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn Sn关于置换的乘法是封闭的；置换的乘法满足结合 律；恒等置换(1)是 Sn 中的单位元；对于任何 n元置
17
子群的定义
定义(P253 定义17.6) 设G是群，H是G的非空子 集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G 的子群，记作 H≤G。
若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群， 记作 H＜G。
G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群 。 例：
nZ（n是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群。 当n≠1时,nZ是Z的真子群。
18
子群的判定定理一
定理（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集。 H是G的子群当且仅当下面的条件成立： (1) a,b∈H，有 ab∈H。 (2) a∈H，有 a-1∈H。 P253 定理17.9
定理（判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集。 H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab-1∈H。 定理 17.10
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陪集
定义(P263 定义17.16) 设H是G的子群，a∈G。令 Ha＝{ha|h∈H}
对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都 可交换，G的中心为G。
如果中心是{e}，那么G是无中心的。
22
例
例 设H是群G的子群,x∈G,证明： xHx-1={xhx-1|h∈H}是G的子群,称为H的共轭 子群。
例设G是群，H,K是G的子群。证明 (1) H∩K也是G的子群。 (2) H∪K是G的子群当且仅当 HK 或 KH。
例 在<Z6,>中 2 和 4 是 ? 阶元，3 是 ? 阶元，1
和 5 是 ? 阶元，0 是 ? 阶元
在<Z,+>中0 是 ? 阶元，其它元素是? 阶元
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群的性质—群的幂运算规则
定理(P250 定理17.2) 设G为群,则G中的幂运算 满足：
(1) a∈G,(a-1)-1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。 (3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。 (4) a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。 (5) 若G为交换群，则(ab)n＝anbn。
G是所有码字的集合，定义G上的运算*： x*y=z1z2...z7， zi=xiyi
则<G,*>是群。
另外，所有长度为7位的二进制数全体关于构成 群，也称为{0,1}上的n维线性空间。
10
群论中常用的概念或术语
定义(P250 定义17.2 17.3) (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无
• 回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置 换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积, 而任何轮换又可以进一步表示成对换之积, 所以任何n元置换都可以表成对换之积。
36
对换分解式的特征
• 尽管n元置换的对换表示式是不唯一的,但可以 证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不变 的。例4元置换τ=（1 2 3 4）只能表示成奇数 个对换之积。如果n元置换σ可以表示成奇数 个对换之积,则称σ为奇置换,否则称为偶置换, 不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个。 P262 定义17.15
14
消去律
定理 (P251 定理17.5) G为群,则G中适合消去律， 即对任意a,b,c∈G 有
(1)若ab＝ac，则b＝c。 (2)若ba＝ca，则b＝c。
15
群的性质---运算表排列规则
定理 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.
19
子群的判定定理三
定理(判定定理三) 设G为群，H是G的非空子集。 如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab∈H。 P254 定理17.11
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特殊子群1
例 设G为群，a∈G，令H＝{ak|k∈Z}， 即a的所有的幂构成的集合，则H是G 的子群，称为由a生成的子群，记作 <a>。
n0 n0 n0
在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6 在<Z3,3 >中有 23=(21)3=13=13131=0
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群论中常用的概念－元素的阶
定义 设G是群，a∈G，使得等式ak＝e成立的最 小正整数k称为a的阶，记作|a|＝k，这时也称 a为k阶元。 若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。
G＝{a0＝e,a±1,a±2,…} 这时称G为无限循环群。 (P255)
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循环群的生成元求法
定理(P255 定理17.12) 设G＝<a>是循环群。 (1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a
和a-1。 (2)若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元。