{ x , y , z } dy dz , } 垂直。 在点(x, y, z)处都与向量 {1, dx dx
所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。 这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足两 个约束条件的极值的必要条件。
四川大学数学学院 徐小湛 30 March 2012
设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足两 个约束条件的极值。 由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确 定两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x)。将这两个 一元函数代入目标函数，则一元函数 u=f(x,y(x),z(x))=u(x) 在点 x=x 处取得极值。 由极值的必要条件，
四川大学数学学院
du dy dz fx f y fz 0 dx dx dx
徐小湛
(1)
30 March 2012
Santa II, p.156
另一方面，将两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x) 代入两个约束条件方程，得两个恒等式：
( x, y( x), z( x)) 0 ( x, y( x), z( x)) 0
以上二式两端对 x 求导，得
dy dz x y z 0 dx dx dy dz x y z 0 dx dx
四川大学数学学院 徐小湛
(2) (3)
30 March 2012
Santa II, p.156
由 (1), (2), (3) 式知道，以下三个梯度
f { f x , f y , f z } { x , y , z }
Santa II, p.156
有两个约束条件的条件极值 推导三元函数在两个约束条件 下取得极值的h 2012
目标函数 约束条件
u f ( x, y, z)
Santa II, p.156
( x, y, z) 0 ( x, y, z) 0
四川大学数学学院 徐小湛 30 March 2012
华阳 南湖 2012.3.18
Santa II, p.156
四川大学数学学院
徐小湛
30 March 2012
Santa II, p.156
命题
u f ( x, y, z) 取得满足 约束条件 ( x, y, z ) 0和 ( x, y, z ) 0
函数 的极值的必要条件是： f , , 即它们的混合积为零：
共面
fx f y fz [f ] x y z 0 x y z