注意：对于级数1nn u∞=∑，当1nn u∞=∑收敛时，1nn u∞=∑绝对收敛.例 证121(1)(21)n n n -∞=--∑绝对收敛：令12(1)(21)n n u n --=-，则 222211111,(21)[(1)]n n u n n n n n ∞===≤-+-∑收敛⇒1n n u ∞=∑收敛故 原级数绝对收敛.§7.5 幂级数教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、函数项级数的概念1．【定义】设 ΛΛ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在区间I 上的函数,则ΛΛ++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— 常数项级数 ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——常数项级数∑∞=1)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— 函数项级数∑∞=1)(n nx u的所有收敛点形成的集合D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n nx u的发散点的全体构成的集合G .3．和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n n x u x S , D x ∈.若函数项级数∑∞=1)(n nx u在收敛域内每一点都对应于)(x S 的一个函数值，则称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n nx u的和函数.4．余项)(x r n —— )()()(x S x S x r n n -=, ∑==nk kn x ux S 1)()(, D x ∈.注: ①只有在收敛域D 上, )(x r n 才有意义； ② 0)(lim =∞→x r n n , D x ∈.二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如nn nx x a )(0∑∞=-的函数项级数称为0()x x -的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 012,,,.,n a a a a L L 为常数，称为幂级数的系 数.当00=x 时,∑∞=0n nn xa 称为x 的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中常数n a （0,1,2,n =L ）称为幂级数的系数. 结论：对于级数nn nx x a )(0∑∞=-，作代换0t x x =-可以将一般幂级数化为标准幂级数n nn a t∞=∑，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.∑∞=0n nn xa 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.显然: D x ∈0(收敛域)，即幂级数总在0x x =点处收敛.例如: ∑∞=0n nx , ∑∞=-0!)1(n nn x 均为幂级数.显然:∑∞=0n nx的收敛域)1,1(-=D ,其发散域),1[]1,(+∞--∞=Y G .且和函数,11)(0xx x S n n -==∑∞= 1||<x .此结论可当公式使用. 2.级数的收敛域 把级数∑∞=0n nn xa 的各项取绝对值得正项级数nnn a x∞=∑，记 1lim n n na l a +→∞=，则 11lim n n n n n a x l x a x ++→∞=；于是由比值判别法知 （1）若1,(0)l x l <≠，即1x R l <=，∑∞=0n nn x a 绝对收敛.(2) 若1l x >，即1x R l >=，∑∞=0n nn x a 发散.(3) 若1l x =，即1x R l ==，比值法失效，∑∞=0n nn x a 敛散另行判定.（4）若0l =，即01l x =<，此时对任意x ，∑∞=0n nn xa 收敛.上述分析显示级数∑∞=0n nn xa 在一个以原点为中心，从R -到R 的区间内绝对收敛，区间(,)R R -称为幂级数的收敛区间，1R l=为收敛半径. 若级数∑∞=0n nn xa 仅在点0x =收敛，则规定0R =，级数的收敛域为0x =例如 级数20!12!!nn n n xx x n x ∞==+++++∑L L由于 11lim lim lim 1(0)(1)!nn n n n n nx un x x u n x +-→∞→∞→∞==>≠-n ！， ∴ 级数收敛域为 0x =或 {0}；独点集.若∑∞=0n nn xa 对任意x 都收敛，则R =+∞，级数的收敛域为(,)-∞+∞.当0R <<+∞时，要讨论级数在x R =±处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：),,(R R -),,[R R -],,(R R -].,[R R - 3.【阿贝尔定理】（补充）设∑∞=0n n n x a 的收敛域为D ，则 （1）若D x ∈0且00x ≠, 则对||||0x x <∀,∑∞=0n nn xa 收敛且绝对收敛.(2) 若D x ∉0, 则 对||||0x x >∀,有D x ∉即级数∑∞=0n nn xa 发散.证明: (1) D x ∈0⇒∑∞=0n nn xa 收敛，由∑∞=00n n n xa 收⇒00()nn a x n →→∞0>∃===>M 0||(0nn a x M M ≤>的常数） ||||0x x <===>0000||||n nn nn n x x a x a x M x x ≤=⋅≤,因10<x x , 从而 00nn x M x ∞=∑收敛,⇒正项级数∑∞=0||n nn x a 收敛⇒∑∞=0n nn x a 收敛⇒D x ∈即对||||0x x <∀,∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛.(2) D x ∉0,假若有D x ∈1满足||||01x x >)1(由==>∑∞=0n nn xa 收敛⇒D x ∈0矛盾. 所以||||0x x >∀,有∑∞=0n n n x a 发散，即D x ∉.注意:(1) 若D x ∈0, 则 00(||,||)x x D -⊂(收敛域), )0(0≠x ； (2) 若D x ∉0, 则 00(,||)(||,)x x G -∞-+∞⊂U (发散域).4.【定理7.13】若幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足条件 1limn n na l a +→∞=或 lim ||n n n a l →∞=（l 为常数或∞），则(1) 当0l <<+∞时, 则1R l=； (2) 当0l =时, 则R =+∞. （3）当l =+∞时, 则0R =. 常用公式: 1lim+∞→=n n n a a R ，1lim n n n R a →∞=.例如: 幂级数∑∞=0n nx的收敛半径1=R ,1x =±时，级数发散，故其敛区与敛域均为(1,1)-.例1 求幂级数11(1)nn n x n ∞-=-∑的收敛半径与收敛域.解 (1) 级数的通项为 11(1)n n a n-=- 1lim +∞→=n n n a a R 11lim =+=∞→n n n .(2) 当1=x 时, 级数为∑∞=-1)1(n nn 收敛；当1-=x 时, 级数为∑∞=11n n发散.故收敛区间（敛区）是()1,1-，收敛域为]1,1(-（敛域）.例2（1） 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛半径与收敛域.解: 1!n a n =⇒1lim +∞→=n n n a a R +∞=+=+=∞→∞→)1(lim !)!1(limn n n n n ,故 收敛区间和收敛域均是 ),(+∞-∞. （2） 求幂级数∑∞=0!n nxn 的收敛半径.解: !na n =⇒1lim+∞→=n nn a a R 011lim )!1(!lim =+=+=∞→∞→n n n n n . 练习：求幂级数110(1)n n n x ∞--=-∑的收敛半径与收敛域.提示：1lim11nn n a R R a →∞+==⇒=，又1x =时级数发散.收敛域()1,1-.例3 （1）求幂级数213(1)n nn n x n∞-=⋅-∑的收敛半径与收敛域.（缺项级数） 提示：12(1)112(1)3lim lim 1(1)3n n n n n n n n n nu x nu n x +++-→∞→∞-=⋅+- 223lim 31n n x x n →∞==+ 当21313x x <⇒<时级数收敛；当21313x x >⇒>时级数发散.当 13x =±时，原级数是111(1)n n n ∞-=-∑，收敛的交错级数.所以 收敛半径13R =，收敛区间11(,)33-，收敛域11[,]33-. 注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂级数1211(1)21n n n x n --∞=--∑的收敛域.解：21221212121limlim lim 2121n n n n n n nu x n n x x u n x n ++-→∞→∞→∞--=⋅=⋅=++ 由211x x <<即时级数收敛，由由211x x >>即时级数发散.得 1R =当1x =时，1121n ∞∑n －n=1（－）－收敛，当1x =-时，121n ∞∑n n=1（－）－收敛，所以 收敛域为 [1,1]-.例4求幂级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数）解 令21t x =+,幂级数变形为1nn t n∞=∑,1111lim lim lim 11112n t t x n n n n a n n R R R a n n→∞→∞→∞++====⇒=⇒=+11122t x <⇒+<时级数绝对收敛，11122t x >⇒+>时级数发散，11,0t x x =⇒=-=，当1x =-时原级数为11(1)n n n ∞=-∑收敛，当0x =时，11n n∞=∑发散，故 原级数收敛半径12R =，收敛域为[1,0]-.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1）(02.3) 设幂级数∑∞=1n nn x a 与∑∞=1n n n x b 的收敛半径分别为35与31,则幂级数∑∞=122n n nn x b a 的收敛半径为（A ） (A) 5 (B)35 (C) 31 (D) 51答案 53lim1=+→∞nn n a a ,3lim1=+→∞nn n b b 1R ⇒=519159lim 222121=⋅=⋅++→∞n nn n n a b b a（2） (90.5) 求级数∑∞=-12)3(n nn x 的收敛域. 解 令3t x =-，级数21n n t n∞=∑,由1)1(lim lim 221=+=→∞+→∞n n a a n n n n 知1t R =, 因此当131<-<-x 即42<<x 时级数收敛.当2=x 时,原级数为∑∞=-12)1(n nn 收敛,当4=x 时,原级数为∑∞=121n n 收敛. 所以收敛域为]4,2[.（3） (92.3) 级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为)4,0(. 答 令(2)nt x =- 对于14n n n t n ∞=⋅∑,由1141lim lim (1)44n n n n n n a n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, 于是收敛半径4t R =,则4)2(42<-<-x ,即40<<x 内收敛. 当0=x 和4=x 时,原级数都为∑∞=11n n 发散,所以收敛域为)4,0(. 三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设nn n n n n a xb x ∞∞==∑∑和的收敛半径分别为a b R R 和1）加减法:∑∑∑∞=∞=∞=±=±0)(n n n nn nnn nnx b ax b x a ,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =. 2）乘法:0()nnnnnnni jn n n n i j na xb xc x a b x∞∞∞∞====+=⋅==∑∑∑∑∑,()c c R R x ,-∈. 其中: },min{b a c R R R =, ∑=-=nk kn k n ba c 0,Λ,2,1=n .3）除法:∑∑∑∞=∞=∞==00n n n n nn n nnx c xb xa ,()c c R R x ,-∈.其中: c R 待定, 而n c 由系列表达式∑=-=nk kn k n cb a 0,Λ,2,1=n 确定.此处, +∞==b a R R , 但1=c R . 2.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内是连续. 3.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内可积，且有逐项积分公式10()1xx nn n n n n a S x dx a t dt x n ∞∞+====+∑∑⎰⎰,R R x ='<||.(积分前后的收敛半径不变). 例:ΛΛ+++++=-n x x x x2111, 1||<x .逐项积分时在1x =处无 意义. 4.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间上可微，且在收敛区间上101()n n n n n n S x a x na x ∞∞-=='⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑, R R x ='<||.说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式11n n x x∞==-∑收敛域为1x < 例5 求幂级数∑∞=+01n n n x 的和函数)(x S ,并求0(1)1nn n ∞=-+∑.解：(1) 1lim +∞→=n n n a a R 112lim =++=∞→n n n .当1-=x 时,级数为∑∞=+-11)1(n n n 收 敛；当1=x 时, 级数为∑∞=+111n n 发散. 故原级数收敛域是)1,1[-.(2) 当1||0<<x 时, 有∑∑∞=∞=+-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='001111])([n nn n x x n x x xS . 于是 )1ln(11])([)(00x dt tdt t tS x xS x x --=-='=⎰⎰,由于(0)1S =且幂级数在其收敛域上连续,1ln(1), 10,01;()1, 0.x x x S x xx ⎧---≤<<<⎪=⎨⎪=⎩或 取 1x =-代入和函数可得 2ln )1(1)1(0=-=+-∑∞=S n n n. （2）求幂级数1211123n n n nxx x nx ∞--==+++++∑L L 的和函数)(x S ，并求级数12n n n ∞=∑及级数123n n n∞=∑的和.解 1）11limlim 1n n n n a n a nρ+→∞→∞+===，所以1R =. 当1x =时，1n n ∞=∑发散，当1x =-时，1(1)nn n ∞=-⋅∑发散.所以 级数敛域为(1,1)-. 2）设11(),(1,1)n n S x nxx ∞-==∈-∑，则1111()1,(1,1)11xx n n n n xS t dt ntdt x x x x∞∞-=====-=∈---∑∑⎰⎰201()()(),(1,1)1(1)x d x S x S t dt x dx x x '===∈---⎰为所求和函数.3）令12x =，则有 12111()12(1)2n n n ∞-==-∑，所以122n n n∞==∑.4）令13x =，则有 12111()13(1)3n n n ∞-==-∑，所以12332n n n ∞==∑.练习：（1）求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数)(x S ：[)敛域－1，1()S x ＝－ln(1-x)(2) (99.3)∑∞=-=11_______)21(n n n . 因为121111()()()(1)11(1)n nn n x S x nx x x x x ∞∞-=='''====-=---∑∑, 令12x =，则有∑∞=-==114)21()21(n n S n ,所以答案为4.例6 (00.6) 设,,2,1,0,d cos sin 40Λ==⎰n x x x I nn π求∑∞=0n n I 的和.解 由40140)(sin 11dsin sin ππ++==⎰n n n x n x x I 1)22(11++=n n ,得∑∑∞=+∞=+=010)22(11n n n n n I ,令∑∞=++=0111)(n n x n x S , 则其收敛半径1=R ,在)1,1(-内x x x S n n-=='∑∞=11)(0,于是 x t tx S x --=-=⎰1ln d 11)(0,令22=x ,则221ln )22(11)22(01--=+=∑∞=+n n n S , 从而∑⎰∑∞=∞=+=-==04)22ln(2211lnd cos sin n n n n x x x I π.例7 (03.9) 求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数)(x f 及其极值. 解 依题意)(x f 211(1)(1)2nnn x x n ∞==+-<∑ ,1)(1)1()(212112x x x x x x f n n n n n +-=-=-='∑∑∞=∞=- 上式两边从0到x 积分,得)1ln(21)d(11121d 1)0()(202202x t t t t t f x f x x +-=++-=+-=-⎰⎰, 由1)0(=f 得)1(),1ln(211)(2<+-=x x x f .令0)(='x f ,求得唯一驻点0=x ,由于,01)0(,)1(1)(222<-=''+--=''f x x x f 可见)(x f 在0=x 处取得极大值,且极大值为1)0(=f .例8(05.9) 求幂级数n n x n 21)1121(-+∑∞=在区间)1,1(-内的和函数)(x S . 解 设∑∑∞=∞==+=122121)(,12)(n n n nx x S n x x S , 则 )1,1(),()()(21-∈-=x x S x S x S , 由于∑∞=--=12222,1)(n nx x x x S ),1,1(,1))((12221-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n因此 ,11ln 21d 1)(0221x x x t t t x xS x-++-=-=⎰ 又由于,0)0(1=S 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<-++-=.00,,10 ,11ln 211)(1x x xx x x S 故 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<---+=-=.00, ,10 ,1111ln 21)()()(221x x x x xx x S x S x S练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数:(1)Λ+-+-753753x x x x 解 该级数为∑∞=----112112)1(n n n x n ,由 22121211212lim 1212lim limx n n x n x n x u u n n n n nn n =+-=-+=→∞-+→∞+→∞,知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=--112)1(n n n 收敛;当1=x 时,幂级数∑∞=---1112)1(n n n 收敛,所以原幂级数的收敛域为]1,1[-.设=)(x S ∑∞=----112112)1(n n n x n ,则当)1,1(-∈x 时有 =')(x S 21121221112111)()1()12)1((x x x x n n n n n n n n n +=-=-='--∑∑∑∞=-∞=--∞=--, 所以 =)(x S ⎰=+x x t t 02arctan d 11. (2)Λ++++7538642x x x x解 该幂级数为∑∞=-1122n n nx,由22121211lim 2)22(lim lim x n n x nx x n u u n n n n nn n =+=+=→∞-+→∞+→∞, 知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=-1)2(n n 发散;当1=x 时,幂级数∑∞=12n n 发散,所以原幂级数的收敛区间为)1,1(-. 设=)(x S ∑∞=-1122n n nx,则当)1,1(-∈x 时,有22221212)1(2)1()()()(x xx x x x x S n nn n-='-='='=∑∑∞=∞=. 小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别.2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后的收敛区间不变.3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取x 的特值代入和函数即得所求. 4．对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间.课后记：存在问题：1.对缺项幂级数以及通项为0()nn a x x -的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多.2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四 个常用公式灵活变形找()S x 的表达式.3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和.。