押题级别 ★★★★
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)， ∴不等式 f(1－m)<f(m)⇔f(|1－m|)<f(|m|)， 又∵当 x∈[0,2]时，f(x)是减函数， ∴－|1－2≤m|1>－|mm|，≤2，
－2≤m≤2， 解得－1≤m<12.
答案 －1，12
2．已知函数 f(x)＝12x，
6．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有 机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数 与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二 次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往 渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．
7．指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响， 解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首 先要看底数 a 的范围．对于幂函数，掌握好考纲中列出 的五种常用的幂函数即可．
探究提高 (1)确定函数 f(x)在[a，b]上的值域必须首先探 求函数 f(x)在其定义域内的单调情况，若 f(x)是基本初等 函数，则可直接利用它的图象和性质求解，若 f(x)为其他 函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域． (2)不等式恒成立问题的常见解法： ①数形结合法；②分离参数与主元．
6．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数
对数函数
形如 y＝ax (a>0 且 定
形如 y＝logax(a>0
a≠1)的函数叫指数 且 a≠1)的函数叫对
义
函数
数函数
图 象
定义域 值域 过定点
单调性
R
{x|x>0}
{y|y>0}
R
(0,1)
(1,0)
0<a<1 时，在 R 0<a<1 时，在(0，
要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立， 则需要 g(x)max＝g(1)≤0， 即－3＋5＋c≤0，解得 c≤－2. ∴当 c≤－2 时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立． 方法二 不等式－3x2＋5x＋c≤0 在[1,4]上恒成立， 即 c≤3x2－5x 在[1,4]上恒成立． 令 g(x)＝3x2－5x， ∵x∈[1,4]，且 g(x)在[1,4]上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2， ∴c≤－2. 即 c≤－2 时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立．
∴f(x)＝x2＋4x＋2 2
(x≤0)， (x>0)，
∴方程 f(x)＝x 等价于x>x＝0，f(x)＝2， 或x≤x2＋0，4x＋2＝x.
即 x＝2，或x≤x2＋0，3x＋2＝0.
∴x＝2，或 x＝－1，或 x＝－2，即 f(x)＝x 有 3 个解．
方法二 由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
(3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件： ①当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)； ②T 是不为零的最小正数． (4)最值 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M(f(x)≥M)； ②存在 x0∈I，使 f(x0)＝M，那么称 M 是函数 y＝f(x)的最 大值(最小值)．
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解 由题意得 x＝－3 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠0， 则00＝ ＝aa··(2－2＋3)(2b＋－(8b)－·2－8)·a(－－3a)b－，a－ab， 解得ab＝＝－5，3， ∴f(x)＝－3x2－3x＋18. (1)如图所示，由图象知，函数在[0,1]内 单调递减，
∴当 x＝0 时，y＝18； 当 x＝1 时，y＝12， ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)方法一 令 g(x)＝－3x2＋5x＋c. ∵g(x)在[56，＋∞)上单调递减，
可得 b＝4，c＝2. ∴f(x)＝x2＋4x＋2
2
(x≤0)， (x>0)，
图象如图所示．
方程 f(x)＝x 解的个数即 y＝f(x)与 y＝x 图象的交点个
数．由图知两图象有 A、B、C 三个交点，故方程有 3 个
解．
探究提高 函数的图象从直观上很好地反映出了函数的 性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不 等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注 意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分 准确，否则容易出错．
4．函数单调性的判定方法 (1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答． 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分 解． (2)导数法． (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
5．函数奇偶性的判定方法 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)对于定义域内的任意一个 x， 若都有 f(－x)＝f(x)，则 f(x)为偶函数； 若都有 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)为奇函数； 若都有 f(－x)－f(x)＝0，则 f(x)为偶函数； 若都有 f(－x)＋f(x)＝0，则 f(x)为奇函数．
a
的取值范围是
1 a>2.
规律方法总结
1．定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是 一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．
2．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区 间上可以有不同的单调性． 函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不 等关系可以“正逆互推”． 判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．对于 选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数 的和函数仍为增(减)函数．
∴aa≥ ≥10， 或14a<>a12<1，
或aa≤ ≥1438. ，
∴a≥1 或12<a<1 或∅，即 a>12， 当 a<0 时，ff((14))＝ ＝a1－ 6a－2＋8＋2≥2≥0 0 ，解得 a∈∅；
当 a＝0 时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，
∴不合题意．
综上可得，实数
答案 B
题型三 求解函数中的参数问题 例 3 已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当 x∈
(－3,2)时，f(x)>0；当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域； (2)c 为何值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立？ 思维启迪 利用数形结合，－3,2 是方程 ax2＋(b－8)x－a －ab＝0 的两根，求出 a，b 的值，得 f(x)的解析式，进而 确定 f(x)在[0,1]内的值域，然后利用函数 g(x)＝ax2＋bx＋c 的性质，确定 c.
当 x<0 时，0<y<1 当 0<x<1 时，y<0
热点分类突破
题型一 函数的基本性质及应用 例 1 已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0<a<b，且 f(a)＝f(b)，则
a＋2b 的取值范围是(_3_，__＋__∞__)．
解析 由 f(a)＝f(b),0<a<b 得 lg a＝－lg b， 从而有 ab＝1，且 0<a<1. 所以 a＋2b＝a＋2a，因为它在(0,1)上是减函数， 所以 a＋2b>3.
3．函数的性质 (1)单调性 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1，x2，且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)成立，则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x1)>f(x2)成立，则 f(x)在 D 上是减 函数)． (2)奇偶性 对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f(－x)＝－f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x)＝f(x) 成立，则 f(x)为偶函数)．
3．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整 体特性． 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问 题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种 途径．
4．函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分 运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、 用图三个基本问题．
5．函数图象的对称性 (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a －x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于 直线 x＝a＋2 b对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图 象关于点(a，b)成中心对称．
探究提高 本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调 性、函数的值域，在做本题时极易忽视 a 的取值范围，而 利用基本不等式求得 a＋2b，从而错填 2 2，这也是命题 者的用心良苦之处．
变式训练 1 已知函数 f(x)＝|log2x|，正实数 m，n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，n]上的最大值 5 为 2，则 n＋m＝_____2___.
8．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、 分类讨论、化归与转化等思想的运用．
名师押题我来做
1．设定义在[－2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递 减，若 f(1－m)<f(m)．则实数 m 的取值范围是________． 押题依据 利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重 要题型，是高考的热点．本题恰当地应用了函数的单调 性．同时考查了函数的奇偶性的性质，但要求不高．故押 此题．
x≤0 ，若 f(x0)≥2，
log2(x＋2)， x>0
则 x0 的取值范围是________．
押题依据 分段函数，基本初等函数是近年来高考的热
点．本题以分段函数的形式考查了指数函数，函数的单调