一、选择题
1．(2012·济南模拟)方程(x －y )2
＋(xy －1)2
＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点
D ．以上答案都不对
解析：(x －y )2
＋(xy －1)2
＝0⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
xy －1＝0.
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1，y ＝1，
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－1.
答案：C
2．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC ＝2CB ，则点C 的轨迹是( )
A ．线段
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2
＋b 2
＝9，① 又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3x ，
b ＝3
2
y ，②
代入①式整理可得x 2
＋y 2
4＝1.
答案：C
3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设
CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
解析：由条件知|PM |＝|PF |，
∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF | ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案：A
4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )
A ．y 2
－x 2
48
＝1(y ≤－1)
B ．y 2
－x 248＝1(y ≥1)
C ．x 2
－y 248＝1(x ≤－1)
D ．x 2－y 2
48
＝1(x ≥1)
解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2
＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2
－x 2
48
＝1(y ≤－1)．
答案：A
5．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2
＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2
＝2(x －1) B ．y 2
＝4(x －1) C ．y 2＝x －1
D ．y 2
＝12
(x －1)
解析：设P (x 0
，y 0
)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0
＋22，
y ＝y
2.
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2x －2，
y 0＝2y .
，由于y 2
0＝x 0，
所以4y 2
＝2x －2.
即y 2
＝12(x －1)．
答案：D 二、填空题
6．已知圆的方程为x 2
＋y 2
＝4，若抛物线过点A (－1,0)、B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．
解析：设抛物线焦点为F ，过A 、B 、O 作准线的垂线AA 1、BB 1、OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)
7．直线x a ＋
y
2－a
＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是__________．
解析：(参数法)设直线x a ＋
y
2－a
＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为
M (x ，y )，则x ＝a 2
，y ＝1－a
2
，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.
答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 三、解答题
8.如图，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点
P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP ·QF ＝FP ·FQ .求动点P 的
轨迹C 的方程．
解：法一：设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，
由QP ·QF ＝FP ·FQ ，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，
y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .
法二：由QP ·QF ＝FP ·FQ ，
得FQ ·(PQ ＋PF )＝0，∴(PQ －PF )·(PQ ＋PF )＝0， ∴PQ 2
－PF 2
＝0.∴|PQ |＝|PF |.
∴点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为y 2
＝4x .
9．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP ·RQ 的最小值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2
＝4y .
(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2
－4kx －4＝0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，
x 1x 2＝－4.
又易得点R 的坐标为(－2
k
，－1)，
∴RP ·RQ ＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2
k
，y 2＋1)
＝(x 1＋2k )(x 2＋2
k
)＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)
＝(1＋k 2
)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k
2＋4
＝－4(1＋k 2
)＋4k (2k ＋2k )＋4k
2＋4
＝4(k 2
＋1k
2)＋8.
∵k 2＋1k
2≥2，当且仅当k 2
＝1时取等号，
∴RP ·RQ ≥4×2＋8＝16，即RP ·RQ 的最小值为16.
10．(2011·天津高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别
为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点．满足AM ·BM ＝－2，求点M 的轨迹方程．
解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即
a －c
2
＋b 2
＝2c ，整理得2(c a
)2
＋c a
－1＝0，
得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12
. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 可得椭圆方程为3x 2
＋4y 2
＝12c 2
， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．
A ，
B 两点的坐标满足方程组⎩⎨
⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2
，y ＝3x －c .
消去y 并整理，得5x 2
－8cx ＝0，解得
x 1＝0，x 2＝85
c .
得方程组的解⎩⎨
⎧
x 1＝0，
y 1＝－3c ，
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＝8
5
c ，
y 2
＝335c .
不妨设A (85c ，33
5
c )，B (0，－3c )．
设点M 的坐标为(x ，y )，则AM ＝(x －85c ，y －33
5
c )，
BM ＝(x ，y ＋3c )．
由y ＝3(x －c )，得c ＝x －
3
3
y . 于是AM ＝(8315y －35x ，85y －33
5
x )，
BM ＝(x ，3x )．
由AM ·BM ＝－2，
即(8315y －35x )·x ＋(85y －335x )·3x ＝－2，
化简得18x 2
－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，
得c ＝10x 2＋5
16x >0.所以x >0.
因此，点M 的轨迹方程是18x 2
－163xy －15＝0(x >0)．。