x0
x0
1 cos x2
lim
x0
sin2 x
lim x0
1 2
x2
2
x2
0
所以当 x→0 时，（1－cosx）2 是比 sin2x 高阶的无穷小。
3．当 x→1 时，无穷小 1－x 和（1）1－x3，（2）（1－x2）/2 是否同阶，是否等价？
x0 x
x0 x
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
；（4）
lim
x0
x
cot
x
；
（5） lim 1 cos 2x x0 x sin x
；（6） lim 2n n
sin
x 2n
（x
为不等于零的常数）。
解：（1）当ω≠0
时， lim x0
sin x x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
sin x x
2 5
lim
x0
sin 2x 2x
lim
x0
5x sin 5x
2 5
（4）
lim
x0
x
cot
x
lim
x0
x sin
x
cos
x
lim
x0
x sin
x
lim x0
cos
x
1
（5） lim 1 cos 2x lim 2sin 2 x 2 lim sin x 2
x0 x sin x x0 x sin x
（4） lim n 1 x 1 x0
（5）
lim
x0
x
1 x
1
证：（1）因1
1
1 n
1
1 n
，而
lim1
n
1,
lim
n
1
1 n
1，由夹逼准则，即得证。
（2）因
n
n
n
n2
1
n2
1 2
...
n2
1 n
n2 n2
，而
lim
n
n
n
1
lim
n
n2 n2
1
由夹逼准则，即得证。
（3） xn1 2 xn n N , x1 2
1 ，而
lim
x0
1
x
1
，
lim
x0
1
1 ，由夹逼准则，即
得证。
习题 1-7 无穷小的比较
1．当 x→0 时，2x－x2 与 x2－x3 相比，哪一个是高阶无穷小？
解：因为 lim 2x x2 0, lim x2 x3 0 ，则
x0
x0
lim
x0
x2 2x
x3 x2
lim x0
先证数列{xn}为有界数列：
n ＝ 1 时 ， x1 2 2 ； 假 定 n ＝ k 时 ， xk ＜ 2 。 当 n ＝ k ＋ 1 时 ， xk1 2 xk 2 2 2 。故 xn＜2（n∈N＋）。
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准则 I′：如果
（1）g（x）≤f（x）≤h（x），x∈U（x0，r）；
（2）
lim
x x0
g
x
A,
lim
x x0
h
x
A
，
则
lim
x x0
f
x 存在，且等于
A。
证：∀ε＞0，因
lim
x x0
g
x
A ，故∃δ1＞0，当 0＜|x－x0|＜δ1 时，有|g（x）－A|＜ε，
即 A－ε＜g（x）＜A＋ε（1-2-1）
得
x2 n1
2
xn
，两端同时取极限得 a2＝2＋a⇒a2－a
－2＝0⇒a1＝2，a2＝－1（舍去），即
lim
n
xn
2。
（4）当 x＞0 时，1 n 1 x 1 x ；当－1＜x＜0 时，1 x n 1 x 1 ，而
lim1
x0
1,
lim
x0
1
x
1
，由夹逼准则，即得证。
（5）当
x＞0
时，1
x
x
1 x
；当ω＝0
时，
lim
x0
sin x x
0
，故不论ω为何值，均有
lim
x0
sin x x
。
（2） lim x0
tan 3x x
lim
x0
3
tan 3 3x
x
3 lim x0
tan 3x 3x
3
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
=
lim
x0
sin 2x 5x 2 2x sin 5x 5
再证数列{xn}是单调增加的：
因
xn1 xn
2 xn xn
2 xn xn2 xn 2 xn 1
2 xn xn
2 xn xn
由 0＜xn＜2，得 xn1 xn 0 ，即 xn＋1＞xn（n∈N＋）。
由单调有界准则，即知
lim
n
xn
存在。
记
lim
n
xn
a
，由
xn1
2
xn
x0 x
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（6） lim 2n sin n
x 2n
lim n
sin
x 2n
x
x
x
2n
2．计算下列极限：
1
1
（1） lim1 xx ；（2） lim 1 2xx ；
x0
x0
（3）
lim
x
1
x
x
2x
；（4）
又因
lim
x x0
h
x
A ，故对上面的ε＞0，∃δ2＞0，当 0＜|x－x0|＜δ2 时，有|h（x）－
A|＜ε，即 A－ε＜h（x）＜A＋ε（1-2-2）
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取δ＝min{δ1，δ2，r}，则当 0＜|x－x0|＜δ时，假设（1）及式（1-2-1）、（1-2-2）同
时成立，从而有
A－ε＜g（x）≤f（x）≤h（x）＜A＋ε，即有|f（x）－A|＜ε。因此
lim
x x0
f
x
存在，且等于 A。
4．利用极限存在准则证明：
（1） lim 1 1 1
n
n
（2）
lim
n
n
1 n2
n2
1 2
...
n2
1 n
1
（3）数列 2, 2 2 , 2 2 2 ,... 的极限存在；
lim
x
1
1 x
kx
（k
为正整数）。
解：（1） lim x0
1 x
1
x
lim
x0
1
x
1
x
1e1Fra bibliotek1（2） lim1 2xx x0
lim
x0
1
2
x
1 2x
2
e2
（3）
lim
x
1
x
x
2x
lim
x
1
1 x
x
2
e2
（4）
lim
x
1
1 x
kx
lim
x
1
1 xk
x
ek
3．根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 I′。
x x2 2x
0
所以当 x→0 时，x2－x3 是比 2x－x2 高阶的无穷小。
2．当 x→0 时，（1－cosx）2 与 sin2x 相比，哪一个是高阶无穷小？
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解：因为 lim 1 cos x2 0 ， lim sin2 x 0 ，则
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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 1 章 函数与极限 下
1.2 课后习题详解
习题 1-6 极限存在准则 两个重要极限
1．计算下列极限：
（1） lim sin x ；（2） lim tan 3x ；