ˆ s
A × B × C = B ( A ⋅ C ) − A( B ⋅ C ) * * ( ET × H T ) ⋅ ds = −( ET ⋅ ET / η ∗ ) ds
P=
( 3.3.82a )
1 * (ET × H T ) ⋅ ds 2∫ S
(3.3.73)
1 ωε * j ∫ ET ⋅ ET ds = − j 2ω ∫ ( wm − we )dv ( 3.3.82b ) 2s α v ∫ S ⋅ ds = − j 2ω ∫ (wm − we )dv 由上述二式可知， 由上述二式可知，当波处 S v 于截止状态时， 于截止状态时，对 TE 波
1 W1 = ∫ ε ET ds 2 s
2
( 3.3.85a )
对于TM波 对于TM波， H = H T ，故 TM
1 W1 = ∫ µ H T ds 2 s
2
( 3.3.85b )
3.3.6
矩形波导的衰减
波导中的损耗有两个来源：其一是波导壁为非理想导体， 波导中的损耗有两个来源：其一是波导壁为非理想导体， 其二是波导中的介质损耗。通常，当波导中的媒质为空气时， 其二是波导中的介质损耗。通常，当波导中的媒质为空气时， 介质损耗可以忽略。 方向传播的波衰减， 介质损耗可以忽略。损耗将使沿 方向传播的波衰减，称这 种衰减为损耗衰减，以区别于截止衰减。 种衰减为损耗衰减，以区别于截止衰减。对于向 方向传播 的波，由于衰减的存在， 的波，由于衰减的存在，电场和磁场的横分量可写作
此式表明无耗规则波导中的每一个模独立地传输自身所携带的功 无耗规则波导中不会发生功率从一个模向另一个模的转移， 率，无耗规则波导中不会发生功率从一个模向另一个模的转移， 彼此之间没有耦合，除非规则波导的规则性受到破坏。 彼此之间没有耦合，除非规则波导的规则性受到破坏。如果规则 矩形波导中传输的模有 n 个，那么就相当于有 n 条相互独立的 传输线。 传输线。上述无耗规则矩形波导的模的正交性对于其他的规则波 如圆波导，也同样成立，这里不去进行一般性的证明。 导，如圆波导，也同样成立，这里不去进行一般性的证明。
由式（3.3.74）和式（3.3.75）可知， 由式（3.3.74）和式（3.3.75）可知，当波处于传播状态时
η 是实数， 为实数， P 是实数，因为传播状态时的 k z 为实数， TE 和 ηTM 为实数。当波处于截止状态时， 为纯虚数， 为实数。当波处于截止状态时，传播常数 k z 为纯虚数，即
仅仅是一段波导的两个横截面，右端 仅仅是一段波导的两个横截面， 是磁场和电场储能密度。 we 和 wm是磁场和电场储能密度。 当波处于传播状态时， 当波处于传播状态时，进入体积 V 的功率， 的功率等于流出体积 V 的功率，因 而上式的左端等于零，那么， 而上式的左端等于零，那么，由式 3.3.80） （3.3.80）得
1 1 2 W1 = ∫ dz ∫ ( ε E + µ H )ds ( 3.3.84 ) 0 4 4 s S是波导横截面。因为在传播状态电场储能等于磁场储能，故 是波导横截面。 是波导横截面 因为在传播状态电场储能等于磁场储能， 上式可以被简化： 上式可以被简化：对TE波， E = ET ，故 波
1 2
ɵ ET = −ηTM z × H T ( 3.2.37 ) ωε ɵ 1 ɵ HT = z × ET = z × ET ( 3.2.35 ) kz ηTM 2
* * ˆ ˆ ( ET × H T ) ⋅ ds = ( ET × z × ET / η ∗ ) ⋅ zds P =
利用矢量恒等式 A × B × C = B ( A ⋅ C ) − A( B ⋅ C )
kz
( 3.2.28)
(3.3.77)
这表明波阻抗为虚数， 波的波阻抗呈感性， 这表明波阻抗为虚数，且 TE 波的波阻抗呈感性， TM 波波阻抗 呈容性。由式（ 呈容性。由式（3.3.74）求得截止状态时的“传输功率”为 ）求得截止状态时的“传输功率”
PTE = + j
PTM
以上两式表明在截止状态下 矩形波导的传输功率为纯虚数， 矩形波导的传输功率为纯虚数， 图 3.8 体积 V 和 S表面示意图 表面示意图 即不能传输功率。 即不能传输功率。 下面讨论矩形波导中电场储能与磁场储能。 下面讨论矩形波导中电场储能与磁场储能。设波导壁是理 想导体，波导内的媒质无耗，取一段波导， 想导体，波导内的媒质无耗，取一段波导，其体积为 V ，包围 构成， 体积 V 的面积为 S ， S 由波导壁和两个截面 S1 和 S 构成， 2 所示， 如图 3.8 所示，图中还标出了两个截面的法向单位矢量 。 内无源， V 内无源，即 J = 0 ,由积分形式的坡印亭定理可得
ET = ∑ ET i
i
HT = ∑ HT j
j
其中， 波中的某一个模， 其中， ETi 和 H Tj可以代表 TE 波或 TM 波中的某一个模，当 ETi 和 j 和 H Tj中的
i
相同时，为同一个模， 相同时，为同一个模，当 i ≠ 的正交性， 的正交性，可以验证
时为不同的模。 j 时为不同的模。根据三角函数
z
+z
ET ( z ) = ET (0)e− (α + jkz ) z
HT ( z ) = HT (0)e− (α + jkz ) z
( 3.3.86 ) ( 3.3.87 )
式中， 式中， 即
α 是场的衰减系数，它是一个正实数，由两部分组成， 是场的衰减系数，它是一个正实数，由两部分组成，
α = αc + αd
1 α * ET ⋅ ET ds (3.3.78) ∫ ωµ 2S 1 ωε * = − j ∫ ET ⋅ ET ds (3.3.79) 2S α
ˆ s
∫ S ⋅ ds = − j 2ω ∫ (w
S v
m
− we )dv
(3.3.80)
上式的左端为面积分，此积分在波导壁上的积分等于零， 上式的左端为面积分，此积分在波导壁上的积分等于零，有值的
( 3.3.88)
α c 是导体的损耗对应的衰减系数，α d 是介质的损耗对应的衰 是导体的损耗对应的衰减系数，
减系数。 减系数。功率按
3.3.5 矩形波导中的传输功率与储能 在矩形波导中沿z方向传输的功率为 在矩形波导中沿 方向传输的功率为
P=
式中， 式中，
∗ 号表示共轭，S 是矩形波导的横截面，ET和HT 是 号表示共轭， 是矩形波导的横截面，
1 * (ET × HT ) ⋅ ds 2∫ S
(3.3.73)
向正z方向传播的波的横向电场和横向磁场。 向正 方向传播的波的横向电场和横向磁场。因为在波导中可 方向传播的波的横向电场和横向磁场 能存在许多乃至无限多的模式， 能存在许多乃至无限多的模式，那么上式中的 ET 和 HT 可以写 成许多模的矢量和的形式， 成许多模的矢量和的形式，即
传输功率 将其代入到波阻抗的表示式（3.2.28）和式（ k z = − jα ，将其代入到波阻抗的表示式（3.2.28）和式（ 3.2.36），得 3.2.36），得 ）， ωµ ηTE = j α 和 α ηTM = − j ωε
ηTM =
(3.3.76)
ωε
kz
( 3.2.36 )
ηTE =
ωµ
2S (3.3.75)
a b 1 ωµ a 3b ab E10 2 * PTE10 = Re ∫ E H x dydx = H10 βTE10 = 2 x = 0 ∫y = 0 y 2 4π 4 ZTE10 式中， 式中， η是 TE 波的波阻抗 ηTE ，也可以是 TM 波的波阻抗 ηTM ɵ 以式(3.3.74)为例说明推导过程， 。以式(3.3.74)为例说明推导过程，因为 ET = −ηTEM z × HT ( 3.2.42 )
m e v v
( 3.3.83a ) ∫ wm dv < ∫ we dv
v v
(3.3.83b)
这就是说，当波处于截止状态时，TE 波在体积 V 内的磁 这就是说，当波处于截止状态时， 场储能大于电场储能， 场储能大于电场储能，TM 波在体积 V 内的电场储能大于磁场 储能。回忆式（3.3.76）和式（3.3.77）， ），当波处于截止状态 储能。回忆式（3.3.76）和式（3.3.77），当波处于截止状态 波的波阻抗为纯虚数且为感性， 时TE 波的波阻抗为纯虚数且为感性，TM 波的波阻抗亦为纯虚 且为容性。 数，且为容性。这表明从储能的观点和从阻抗的观点得出的结论 ωµ α ηTE = j (3.3.76) 是一致的。 是一致的。 ηTM = − j (3.3.77) α ωε 当波处于传播状态时， 当波处于传播状态时，单位长度内的储能 W1 为
+z
z
注意到 S1 面的法向单位矢 ET × H T ∗ 的方向相 量 与 于是， 反，于是，对 TE 波，有 1 α −j ∫ ET ⋅ ET ∗ds = − j 2ω ∫ ( wm − we )dv 2 s ωµ v PTE 对 TM 波，有
* * ˆ ˆ ( ET × H T ) ⋅ ds = ( ET × z × ET / η ∗ ) ⋅ ( − z ) ds
∫ w dv = ∫ w dv
e m v v
(3.3.81)
∫ S ⋅ ds = − j 2ω ∫ (w
S v
图 3.8 体积 V 和 S表面示 表面示 意图

− we )dv
(3.3.80)
这就是说， 内的磁场储能。 这就是说，体积V 内的电场储能等于体积 V 内的磁场储能。 注意，不能从式（ 注意，不能从式（3.3.81）得出电场储能密度 w 等于磁场储能 ） e 的结论。当波处于截止状态时， 密度 wm 的结论。当波处于截止状态时，流出体积 V 的功率 的功率。为了说明问题， 将不再等于进入体积 V 的功率。为了说明问题，不妨设波是 方向传播的， 所示， 向 方向传播的，其 ET 、H T 和 方向如图 3.8 所示，所 取的一段波导足够长， 处有场， 处场已消失， 取的一段波导足够长，在截面 S1 处有场，在 S 2 处场已消失， 因此式（ 处有效。 因此式（3.3.80）的左端的面积分只在截面 S1 处有效。 ）