素养评析
(1)本例中
点O在以AB为直径的圆外
⇒
∠AOB为锐角
⇒
→→ OA·OB>0
⇒
x1x2＋y1y2>0
利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围. (2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，本例从条件出发与 已有知识结合，逐步推出相应的结论.对逻辑推理素养的培养有很好的帮助.
3 达标检测
反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方 程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离.
跟踪训练 1 若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 总有公共点， 则实数 m 的取值范围为_[_1_,_5_) _.
A.m>1
√B.m>1且m≠3
C.m>3
D.m>0且m≠3
解析
y＝x＋2， 由xm2＋y32＝1，
得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∵Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，∴16m2－4m(3＋m)>0，
∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
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3.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋ 3y＋4＝0有且仅有一个公 共点，则椭圆的长轴长为__2__7__. 解析 由题意可设椭圆的方程为ax22＋a2y－2 4＝1(a>2)， 与直线方程 x＋ 3y＋4＝0 联立， 得 4(a2－3)y2＋8 3(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0， 由 Δ＝0，得 a＝ 7， 所以椭圆的长轴长为 2 7.
(√) 4.设A是椭圆内一点，以A为中点的弦是唯一的.( × ) 5.直线 y＝k(x－a)与椭圆ax22＋by22＝1 的位置关系是相交.( √ )
2 题型探究
PART TWO
题型一 直线与椭圆的位置关系
例 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l
题型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
解
4x2＋y2＝1， 由
得 5x2＋2mx＋m2－1＝0，
y＝x＋m，
因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－ 25≤m≤ 25.
这时直线l与椭圆C有两个公共点.
(2)有且只有一个公共点； 解 当 Δ＝0，即 m＝±3 2时， 方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解. 这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)没有公共点. 解 当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时， 方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解. 这时直线l与椭圆C没有公共点.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( √ ) 2.在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭 圆中心的距离最小.( √ ) 3.在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长.
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
反思感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成 的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用 点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜 率的关系.
跟踪训练 2 已知椭圆 ax2＋by2＝1(a>0，b>0 且 a≠b)与直线 x＋y－1＝0 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程.
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(2)若过左焦点F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求线段PQ的长. 解 由已知得，直线l的斜率k＝tan 45°＝1，而F1(－2,0)， 所以直线 l 的方程为 y＝x＋2，代入方程x92＋y52＝1， 得5x2＋9(x＋2)2＝45，即14x2＋36x－9＝0， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－178，x1x2＝－194， 则|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋12× x1＋x22－4x1x2
PART THREE
1.点 A(a,1)在椭圆x42＋y22＝1 的内部，则 a 的取值范围是
√A.－ 2<a< 2
B.a<－ 2或 a> 2
C.－2<a<2
D.－1<a<1
解析 由题意知a42＋12<1，解得－ 2<a< 2.
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2.直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公共点，则 m 的取值范围是
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4.已知椭圆C的两个焦点是F1(－2,0)，F2(2,0)，且椭圆C经过点A(0， 5). (1)求椭圆C的标准方程； 解 由已知得，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，可设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， (0， 5)是椭圆短轴上的一个顶点，可得 b＝ 5， 由题意可得 c＝2，故 a＝ b2＋c2＝3， 则椭圆 C 的标准方程为x92＋y52＝1.
跟踪训练3 已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)若点P(a，b)是椭圆C上一点，求a2＋b2的取值范围； 解 由题意得a2＋2b2＝4， 则a2＝4－2b2， ∴a2＋b2＝4－2b2＋b2＝4－b2， ∵b∈[－ 2， 2]，∴4－b2∈[2,4]. 故a2＋b2∈[2,4]，a2＋b2的取值范围为[2,4].
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求|AB|的最
小值.
解 设A(t,2)，B(x0，y0)，x0≠0.∵OA⊥OB， ∴O→A·O→B＝0， ∴tx0＋2y0＝0，∴t＝－2xy00. 又∵x20＋2y20＝4，∴0<x20≤4. ∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x220＋x802＋4≥4＋4＝8， 当且仅当x220＝x820，即 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|的最小值为 2 2.
与椭圆 C：
(1)有两个公共点；
y＝2x＋m，
解 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组x42＋y22＝1，
得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.
消去 y， ①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，
方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解.
消去 y，得关于 x 的一元二次方程.
当Δ＞0时，方程有 两个不同解 ，直线与椭圆 相交 ； 当Δ＝0时，方程有 两个相同解 ，直线与椭圆 相切 ； 当Δ＜0时，方程 无解 ，直线与椭圆 相离 .
知识点三 弦长公式 设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋bx22＝1 (a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22，
解析 ∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)， ∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
0<m<5， 由此得052＋1m2≤1，
解得 1≤m<5.
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
例 2 已知椭圆3x62＋y92＝1 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A，B 两点. (1)当直线 l 的斜率为12时，求线段 AB 的长度；
反思感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出 题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题 需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多 的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根 的判别式来确定参数的限制条件.
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0， 所以 x1＋x2＝－25m，x1x2＝15(m2－1)， 所以|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ 2x1－x22＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 242m52－54m2－1＝52 10－8m2. 所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
位置关系 P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内
满足条件 ax202＋by202>1 ax202＋by202＝1 ax202＋by202<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
y＝kx＋m， 联立ax22＋by22＝1，
解 由题意得2a＝4，即a＝2，
又点 P1， 23在椭圆 C 上， ∴14＋43b2＝1，即 b2＝1， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1，焦点 F1(－ 3，0)，F2( 3，0).
(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若原点O在以线段 AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围.
∴|AB|＝ x1－x22＋kx1－kx22
＝ 1＋k2 x1－x22
＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2，
或|AB|＝ 1ky1－1ky22＋y1－y22 ＝ 1＋k12 y1－y22
＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2. 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消 去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.