道桥系
例题15 已知定平面由平行两直线AB CD给定 AB和 给定。 例题15 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。 a′ d′ m′ b′ c′ c n b m a d f n′ r′ r e k s f′ k′ s′ e′
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例题16 试判断两平面是否平行。 例题16 试判断两平面是否平行。 s′ e′ f′ d′ b′ r′ c′ a′
A
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直 线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直 于该平面。 n′ V C E B D d d′ f a c b n k a′ f′ c′ A b′ k′
例题18 例题18 平面由 线。
BDF给定，试过定点K BDF给定，试过定点K作平面的法 给定
K
e′ B f b
C
Ⅲ Ⅳ
k A a
3
c ( 4)
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E e
H
两一般位置平面相交 两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 步骤： 1、用直线与 、 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 个共有点 、 E。 。 2、连接两个 、 共有点， 共有点，画 出交线KE。 出交线 。
以正垂 面为辅助平 面求交点步 骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
1
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c
e
以正垂面为辅助平面求线面交点示意图
A
M
C
B N 作平面Q垂直于 投影面 过MN作平面 垂直于 道桥系 作平面 垂直于V投影面 四川交通职业技术学院
e′ e
2 k
m 1 四川交通职业技术学院
道桥系
直线与平面、平面与平面垂直 直线与平面、
直线与平面垂直
直线与平面垂直的几何条件： 直线与平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于一平面， 若一直线垂直于一平面，则必 垂直于属于该平面的一切直线。 垂直于属于该平面的一切直线。
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V C E B D
n′ f′ c′ a′ b′ f a k′
d′ k c b n
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d
例题19 试过定点K作特殊位置平面的法线。 例题19 试过定点K作特殊位置平面的法线。 h′ PV k′ SV k′ h′ h′
k′ k
h
k h h QH k
例题20 平面由两平行线AB CD给定 试判断直线MN AB、 给定， 例题20 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。 是否垂直于定平面。 a′ e′ b′ d′ f′ c′ m′
直线与平面、平面与平面垂直
直 两 线 平 与 面 平 互 面 相 垂 垂 直 直
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直线与平面、平面与平面平行 直线与平面、
直线与平面平行
几何条件： 几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一 条直线平行， 条直线平行，则该直线与该平面平 行。这是解决直线与平面平行作图 问题的依据。 问题的依据。 解决问题：判别已知线面是否平行 已知线面是否平行； 解决问题：判别已知线面是否平行；作直线与 已知平面平行； 已知平面平行；包含已知直线作平 面与另一已知直线平行。 面与另一已知直线平行。
A
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定理1：若一直线垂直于一平面、 定理 ：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影； 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 的正平线的正面投影。 n′ V C E B D n a k e d c b a′ k′ d′ e′ c′ b′
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A
Ⅱ
D
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A A
Ⅰ Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
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例题21 例题21 平面由 面的垂面 f′ c′ a′ d′ f a d c
BDF给定，试过定点K BDF给定，试过定点K作已知平 给定 h′ g′
k′ b′
k g b
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相 交两直线， 交两直线，则此两平面平行
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例题14 例题14 试判断两平面是否平行
a′ b′ n′ m′ c′ d′ c n m a d r f b s e r′ f′ s′ e′
结论：两平面平行 结论： 四川交通职业技术学院
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n
例题17 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC， 例题17 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC， ΔABC 并与直线EF EF相交 并与直线EF相交 。
c′ a′ b′ a b c f
k′ f′ e′ e
k
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分析
K 过已知 点K作平面 P平行于 ABC；直 线EF与平 面P交于H； 连接KH， KH即为所 求。 F C H E A
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平面的可见性判断 b′ k′ f′ n′ L N C c f n k a l c H
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m′ V M B K m F m c′
l′ a′ a l
k b f
n
QV
f′
c′
1′
一 般 位 置 直 线 与 一 般 位 置 平 面 相 交
b′
k′
2′
e′ f b k a′ a
直线的可见性判断 b′ V N B P A PH a b k M c K a C H m k b c n a′ m′ c′ k′ n′
一般位置平面与特殊位置平面相交 b′ f′ n′ m
L F m N C c PH f n H b k a l
m′
V M B K P
k′
c′
l′ a′ a l
k b f c n
B
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作图步骤
c′ PV m′ a′ b′ a b c f n h f′1′ n′ 2′ h′
k′
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。 2、过直线EF作正垂 平面P。 3 3、求平面P与平面 P KMN的交线ⅠⅡ。 4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。 5、连接KH，KH即 为所求。
e s f
SH
d
a c b
r P H
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结论：两平面平行 四川交通职业技术学院 结论：
直线与平面、平面与平面相交 直线与平面、
直线与平面或平面与平面之间， 直线与平面或平面与平面之间，若不 平行则必相交。 平行则必相交。 直线与平面相交产生交点 交点， 直线与平面相交产生交点，平面与平 面相交产生交线 交线。 面相交产生交线。 交点或交线是两个几何元素的共有元 素，也是在投影中几何元素重影部分可见 与不可见的分界点或分界线。 与不可见的分界点或分界线。
内容提要
直线与平面、平面与平面平行 直线与平面、平面与平面相交
投影面垂直线与一般位置面相交 直 线 与 特 殊 位 置 平 面 相 交 一般位置平面与特殊位置平面相交 两 特 殊 位 置 平 面 相 交 一般位置直线与一般位置平面相交 两 一 般 位 置 平 面 相 交 直 平 线 面 与 与 平 平 面 面 平 平 行 行
PV n′ b′
2′
c′
1′
m′
k′
l′ e a′ b
QV
m e k c
2
a l
1
n
两一般位置平面相交求交线的方法 B M
K
A L
F N
C
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两平面相交，判别可见性 b′ 1′ ( ) n′
3′c′ k′Fra bibliotek2′e′ a′ b 2
l′
4′
m′ m e
3 4
c
( ) k
a l
1
结论： 结论：直线AB不平行于定平面
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c
例题13 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE AB平行于ΔCDE平面 例题13 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面 c′ f′ e′ b′ k′ a′
d′ e k d b f
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a
c
平面与平面平行 P E B A D F C S
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投影面垂直线与一般位置平面相交 a′ e′ b′ k′ c′ f′ a b K` c
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a′
e′ b′
c′ f′ a b
e(f)
e(f)
c
直线与特殊位置平面相交 b′ V N B P A PH a b k M c K a C H m k b c n m′ c′ a′ k′ n′
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直 线 与 平 面 平 行 P C A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线， 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
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例题12 例题12 试判断直线AB是否平行于定平面
c′ g′ d′ f′ e′ a′ b′
e f d a g b
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
f′
( 2′ ) b′
c′ 1′ k′
4′
利 用 重 影 点。 判 别 可 见 性
3′
e′ f
b k 1
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a′