答案
利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和
三点共线问题．证明两直线平行要先证明两直线上的向 量 a，b 平行，还要证明一条直线上有一点不在另一条 直线上；证明三点 A、B、C 共线，只需证明存在实数 λ， → → → → 使AB＝λBC或AB＝λAC即可．
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3.1.2
又 H，E，G，F 不共线，所以四边形 EFGH 是梯形．
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3.1.2
探究点三 向量共面问题 问题 1 如何理解向量与平面平行？
答案 向量与平面平行， 是指向量的基线与平面平行或 向量的基线在平面内，它与直线和平面平行是不同的．
问题 2 在三个向量共面的充要条件中，若两向量 a、b 共线， 那么结论是否还成立？
小结 标． 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量
运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目
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3.1.2
探究点二 问题 1
向量共线问题
(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？
(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求 b≠0?
答案
(1)两向量共线，则它们的方向相同或相反．
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3.1.2
例 1 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重 → 1 → → → 心．求证：AG＝ (AB＋AC＋AD)． 3 证明 连接 BG， 延长后交 CD 于点 E， 由G → 2→ 为△BCD 的重心，知BG＝3BE. → 1→ 1→ 由题意知 E 为 CD 的中点∴BE＝2BC＋2BD. → → → → 2→ → 1 → → ∴AG＝AB＋BG＝AB＋3BE＝AB＋3(BC＋BD) 1 → → → → 1 → → → → ＝AB＋3[(AC－AB)＋(AD－AB)]＝3(AB＋AC＋AD)．
小结 判定向量 a，b 共线，只需利用已知条件找到 x，使 a ＝xb 即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．
研一研· 问2 如图所示， 四边形 ABCD 是空间 四边形， E，H 分别是边 AB， AD 的中点， → 2→ F， G 分别是边 CB， CD 上的点， 且CF＝ CB， 3 → 2→ CG＝ CD.求证：四边形 EFGH 是梯形． 3 证明 因为 E，H 分别是 AB，AD 的中点， → 1→ → 1 → 所以AE＝2AB，AH＝2AD， → → 1 → → → 1→ 所以AE－AH＝2(AB－AD)，即HE＝2DB. → → 2 → → → 2→ 同理CF－CG＝3(CB－CD)，即GF＝3DB. → 3→ → → → → 所以HE＝4GF，所以HE∥GF，且|HE|≠|GF|，
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3.1.2
4 2 → → → 2 ∴EF＝A1F－A1E＝ a－ b－ c 5 15 5 2 2 ＝ a－ b－c. 5 3 2 2 → → → → 又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－3b－c＋a＝a－3b－c， → 2→ ∴EF＝5EB.所以 E，F，B 三点共线
(2)由于我们已经规定了 0 与任意向量平行，所以当 b ＝0 时，a 与 b 是共线向量，可如果 a≠0，就不可能存 在实数 λ，使 a＝λ b 成立．
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3.1.2
跟踪训练 1 在如图所示的空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别为 AD、 BC 的中点． 证 → 1 → → 明：EF＝ (AB＋DC)． → 2→ → → 证明 EF＝EA＋AB＋BF ① → → → → 又EF＝ED＋DC＋CF ② → → → → → → → 则①＋②得 2EF＝(EA＋AB＋BF)＋(ED＋DC＋CF)，
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 → → 中，E 在 A1D1 上，且A1E＝2ED1，F 在对 → 2→ 角线 A1C 上，且A1F＝ FC. 3 求证：E，F，B 三点共线． → → → 证明 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. → → → 2→ → 2 → → 2→ ∵A1E＝2ED1，A1F＝3FC∴A1E＝3A1D1，A1F＝5A1C. → 2→ 2 ∴A1E＝3AD＝3b， 2 → → → 2 2 2 → 2 → → ∴A1F＝5(AC－AA1)＝5(AB＋AD－AA1)＝5a＋5b－5c.
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3.1.2
空间向量的数乘运算
1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平 行)向量、共面向量的意义． 2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运 用它们证明空间向量的共线和共面问题． 利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和 共面向量，充分体现向量的工具性.
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3.1.2
探究点一
空间向量的数乘运算
问题 1 思考实数 λ 和空间向量 a 的乘积 λa 的意义？
答案
λ>0 时，λa 和 a 方向相同；λ<0 时，λa 的方向和 a
方向相反；λa 的长度是 a 的长度的 |λ |倍．
问题 2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律？
答案 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， 结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
又因为 E、F 分别为 AD、BC 的中点， → → → → 所以EA＝－ED，BF＝－CF → → → → → → → → 所以 2EF＝(EA＋ED)＋(BF＋CF)＋(AB＋DC)＝AB＋ → → 1 → → DC，所以EF＝2(AB＋DC)．
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3.1.2
问题 2 向量共线在几何中有什么应用？
答案 不成立．因为当 p 与 a、b 都共线时，存在不惟 一的实数对(x，y)使 p＝xa＋yb 成立．当 p 与 a，b 不共 线时，不存在实数对(x，y)使 p＝xa＋yb 成立．
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3.1.2
问题 3 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C， → → → → 满足向量关系式OP＝ xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋ y＋ z＝1) 的点 P 与点 A， B， C 是否共面？