投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。

而且，大的收益总是伴随着高的风险。

在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。

为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。

随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。

传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。

一 问题的提出某公司有数额为M （较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（i S ）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买i S 的期望收益率（i r ）、交易费率(i p )、风险损失率(i q )以及同期银行存款利率0r （0r =3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受i r ,i p ,i q 影响，不受其他因素干扰 。

现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目i S 期望收益率(%)i r 风险损失率(%)i q交易费率(%)i p存银行0S3 0 0 1S 27 1 2S 22 2 3S 25 4S 23 5S212其中0,1,2,3,4,5.i =二 问题假设及符号说明问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的i S 的期望收益率i r 为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。

符号说明i x ：购买第i 种资产的资金数额占资金总额的百分比；i Mx ：购买第i 种资产的资金数额； 0Mx ：存银行的金额； ()i f x ：交易费用； R ：净收益；Q ：总体风险； i ρ：第i 种投资的净收益率。

三 模型的分析与建立令交易费用,0()(0,1,,5)0,0i i i i i Mx p x f x i x >⎧==⎨=⎩则净收益为50(1)i i i R M r x M ==+-∑总体风险为05max i i i Q Mx q ≤≤=约束条件为55()iii i f x MxM ==+=∑∑可以简化约束条件为5(1)1iii p x=+=∑同时将5(1)i i i M M p x ==+∑代入，得555(1)(1)()i i i i i i i i i i R M r x M p x M r p x ====+-+=-∑∑∑略去M,原问题化为双目标决策问题:50max ()i i i i R x r p ==-∑05min max i i i Q x q ≤≤= （）5(1)1s. t .00,1,,5i i i i p x x i =⎧+=⎪⎪⎨≥⎪⎪=⎩∑以下设0i i r p ->，否则不对该资产投资。

四 模型的求解固定R 使Q 最小的模型固定R 使Q 最小，将模型（）化为05min max i i i Q q x ≤≤=，505(),(1)s. t . (1)1,(2)00,1,,5i i i i i i i i r p x R p x x i ==⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≥⎪=⎩∑∑ （）此模型又可改写为miny()()()()()()0001115550011551111s. t . 0,00,1,,5i i ir p x r p x r p x Rp x p x p x x q yx y i ⎧-+-++-=⎪++++++=⎪⎪≤⎨⎪≥≥⎪⎪=⎩令()(1)i i i i r p p ρ=-+，i ρ表示第i 种投资的净收益率，则i ρ必大于0ρ,否则, 若10ρρ≤, 则不对i S 投资, 因为对该项目投资纯收益率不如存银行, 而风险损失率又大于存银行。

将i ρ从小到大排序,设k ρ最大, 则易见对模型（）的可行解必有k R ρ≤≤03.0.当03.0=R 时, 所有资金都存银行,0=Q ; 当k R ρ=时, 所有资金用于购买i S ,1kkq Q p =+；当k R ρ<<03.0时,有如下结论[7]。

结论：若<R<k ρ，015(,,,)x x x 是模型（）的最优解, 则1155x q x q ==[7]。

而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即112255x q x q x q ===时，总体风险最小[8]。

证：设125,,,y y y 是满足112255x q x q x q ===的一组解，即*112255y q y q y q Q ====。

显然此时*Q 为总体风险。

由于前5项投资总额M 是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。

（比如说将1y 的值增加为*1y 会使得**11y q Q >，总体风险显然增加；反之，若减小1y 的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。

）因此,当(0.03,)k R ρ∈时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去0x ；2）将i i Q x q =代入解出Q ；3）由i i Qx q =，15i ≤≤，5011(1)i ii x p x ==-+∑求出最优解。

所以，我们算得如下结果:（1）0.03R =时，0123451,0,0x x x x x x Q =======；（2）0.261.01R =时，0234510,11.01,0.0241.01x x x x x x Q =======；（3）(0.03,0.261.01)R ∈时，0.03,40.1721R Q -= 10.030.9641R x -=，20.030.6428R x -=， 30.032.0889R x -=，40.030.8838R x -=，50.030.6026R x -=，0123451 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02x x x x x x =-----。

事实上应用Lingo 软件可算得如下结果:表1收益R最小风险度Q投资i S 的资金百分比i x （0,1,2,3,4,5.i =）0x1x2x3x4x5x收益R最小风险度Q最小风险度Q 随收益R 的变化趋势图固定Q 使R 最大的模型固定Q 使R 最大，将模型（）化为50max ()i i i i R r p x ==-∑，50,s. t .(1)1,0,(0,1,,5.)i i i i i i x q Q p x x i =≤⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪≥=⎩∑（）对于每一个Q ，用模型（） 都能求出R , 由净收益率()(1)i i i i r p p ρ=-+, 直观上想到i ρ越大,i x 应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。

结论[7]：设015(,,,)x x x 是模型（）的最优解, 若i j ρρ> , 0j x >，则i i x Q q =。

证明：反证法。

假设i j ρρ>，0j x >，而i i x Q q <。

选取充分小的正数ε，使得()i i x q Q ε+<，(1)(1)i j j p x p ε+<+。

令*i i x x ε=+，*(1)(1)j j i j x x p p ε=-++，当,k i j ≠时，令*k k x x =，则*0k x ≥，且5**,(1)(1)()(1)[(1))](1)1kk kk i i j i j j k k i jxp xp x p x p p p εε=≠+=+++++-+++=∑∑，55**0,0()()()()[(1))]()()kk k kk k i i i j i j j j k k k k k i jk xr p x r p x r p x p p r p x r p εε=≠=-=-++-+-++->-∑∑∑。

则***015(,,,)x x x 才是最优解，因此015(,,,)x x x 不是模型（）的最优解。

此处矛盾，则结论成立，证毕。

由此结论, 我们可将i ρ从大到小排序, 使i ρ最大的k 应尽量满足k k x q Q =, 若还有多余资金, 再投资i ρ次大的,。

对于不同的Q ,会有不同的投资方案,我们可以算出Q 的临界值, 从而确定各项目的投资值。

因此，设123450ρρρρρρ>>>>> , 则可用下面的方法算出各临界值1c ，2c ，3c ，4c ，5c 。

只有一种投资时,111111(1),(1)0.023762c p q c q p +==+=。

当有两种投资时, 将121222,x c q x c q ==，代入1122(1)(1)1x p x p +++=，得2121221)(1)]0.009449c q q p q p q =+++=。

同理可得：3123123213312[(1)(1)(1)]0.007941c q q q p q q p q q p q q =+++++=，412341234213431244123[(1)(1)(1)(1)]0.005736c q q q q p q q q p q q q p q q q p q q q =+++++++= 51234512345213453124541235[(1)(1)(1)(1)c q q q q q p q q q q p q q q q p q q q q p q q q q =+++++++51234(1)]0.004131p q q q q ++=于是得最优解：当0.000000Q =时，0123451,0x x x x x x ======。

当00.004131Q <≤时，5112233445501,,,,,1(1)i i i x Q q x Q q x Q q x Q q x Q q x p x =======-+∑。

当0.0041310.005736Q <≤时，411223344,5501,,,[1(1)](1),0i i i x Q q x Q q x Q q x Q q x p x p x ======-++=∑。

当0.0057360.007941Q <≤时，311223344501,,,[1(1)](1),0i i i x Q q x Q q x Q q x p x p x x =====-++==∑。