二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1)一般式：y ax bx c a =++≠20() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为()h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。

2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式.二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的关系。

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况。

2.图像与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根；②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。

1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

板块一 二次函数解析式1.(1)把函数23212++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________；(2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________；(3)把函数()2324y x =-+化为它的一般式的形式为__________________________；(4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为__________________________;(5)把函数22x y =的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是 ；(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线( ) A ．x=1 B ．x=－1 C ．x=－3 D ．x=3(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是( )A ．2B ．1C ．－3D ．233.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。

(2)已知二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2x =,且经过点(1，4),(5,0),求二次函数的解析式。

(3)已知二次函数过点(0，-1)，且顶点为(-1,2)，求二次函数的解析式，并化成它的一般形式。

(4)已知二次函数的图像与x 轴交于A(-1，0)，B(2，0)，并经过点M(1，2)求二次函数的解析式。

4.已知二次函数的图象与x 轴交于A(-2，0)、B(3，0)两点，且函数有最大值是2.(1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.板块二 二次函数与方程1.(1)二次函数2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标为(-1,0)、(5,0)，则一元二次方程20ax bx c ++=的两根为_____________.(2)如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是3和-1.则二次函数2y ax bx c =++的图像的对称轴是直线_________________.(3)已知二次函数24y x x m =-++的部分图像如右图所示，则关于x 的一元二次方程240x x m -++=的解是______________.2.根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，判断方程()200,,,ax bx c a a b c ++=≠为常数的一个解x 的范围是( )A.6 6.17x <<B. 6.17 6.18x <<C. 6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<3.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：…………则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当4x =时，0y >D.方程20ax bx c ++=的正根在3和4之间4.(1)已知直线5y x k =+与抛物线235y x x =++的交点的横坐标为1，则k=________(2)直线41y x =+与抛物线22y x x k =++有唯一的交点，则k=___________(3)直线6y ax =-与抛物线243y x x =++只有一个交点，则a=___________(4)当m 取何值时，抛物线2y x =与直线y x m =+：①有公共交点；②没有公共点5.已知关于x 的二次函数()222134y x m x m m =--+++，探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图像与x 的交点个数。

6.二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出x 为何值时，y 的值大于0；(2)写出x 为何值时，y 随x 的增大而增大； (3)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

板块三 二次函数与不等式1.(1)不论x 为何值时，2y ax bx c =++永远为正值的条件是( )A ．0,0a >∆< B. 0,0a >∆≥ C. 0,0a >∆> D. 0,0a <∆<(2)若抛物线()2123y m x mx m =-+++位于x 轴上方，则m 的取值范围是( )A. 1m >B. 32m >C. 32m ≥D. 312m << (3)二次函数2y ax bx c =++对于x 的任何值都恒为负值的条件是( )A ．0,0a >∆> B. 0,0a >∆< C. 0,0a >∆> D. 0,0a <∆<2.（1）如图1所示：抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴是直线x=1，则（ ）（A ）0>c ；（B ）02=+b a （C ）042>-ac b ； （D ）0>+-c b a（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，则下列四个结论：①b<0；②c>0；③b 2一4ac>0； ④a-b+c<0，其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ． 2C ．3D ．4(3)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图3所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为 ( )A ．2B ． 3C ．4D ． 5(4)如图4，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系式不正确的是 ( )A ．h=mB ．k=nC ．k>nD ．h>0，k>01-11x y O 图 1 图 2（5）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图6所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤(6)已知二次函数2y ax bx c （0≠a ）的图象如图7所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x和3x 时，函数值相同；3）40a b ；4）当2y 时，x 的值只能为0；其中正确的是3.(1)如图7，)0(21≠++=a c bx ax y 与m kx y +=2的图像交于点A （-2，4），B （8，2），观察图像，写出21y y ≥时x 的取值范围 ，方程m kx c bx ax +=++2的解为 。

图7 图8(2)二次函数223y x x =--的图象如图8所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ． (3)已知，抛物线562+-=x x y ,满足0562<+-x x 的x 的取值范围是 .4.如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过点A(1，0)，B(3，2)。

（1） 求m 的值和抛物线的解析式；（2） 求不等式2x bx c x m ++>+的解集【课后练习】1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )2.小强从如图1所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，观察得出了下列五个结论：①a<0；②c>1；③b>0；④a+b+c>0；⑤a －b+c>0．其中正确的个数是 ( )A ．2B ． 3C ．4D ． 53.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图2所示，则下列判断错误的是( )1xDy O 图1A ．a<0B ． b<0C ．c<0D ． b 2—4ac<04.用配方法把二次函数y=x 2－4x+3 变成它的顶点式为______________________5.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的解析式．6.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）方程20ax bx c ++=的两个根是_______________ （2）不等式20ax bx c ++>的解集是_______________（3）y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围是_______________（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________7.如图，二次函数过点A(0，－2)，B(－1，0)，C )89,45(． xyO 1322(1)求此二次函数的解析式．(2)点M(1，21)是否在直线AC 上? (3)过点M(1，21)作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点(不同于A 、B 、C 三点)，请自己给出点E 的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．。