b
定理(极限判别法)
设函数 f ( x ) 在( a , b ] 上连续，且 lim f ( x ) ，
x a
如果
x a
lim ( x a ) p f ( x ) A
b
则当 0 p 1 时，瑕积分 f ( x ) dx 收敛； a
当 p 1 且 A 0 时， f ( x ) dx 发散.
lim x 1 p f ( x ) lim (1 x )q 1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x 0
若 q 1 ，则 x 1 是瑕点，
x0
lim x 1 q f ( x ) lim (1 x ) p 1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
* 第四节
1
一、无穷限积分敛散性的判别
对于级数 un ，在无穷区间[1, ) 上定义函数
n1
n f ( x) un ， x [n, n 1) ， N ，
则级数的部分和可表示为
n1 1
S n u1 u2 un
n 1
f ( x ) dx
则当无穷限积分
当
a
a
g( x) dx 收敛时，
a
a
f ( x) dx 也收敛；
f ( x ) dx 发散时，
g( x ) dx 也发散.
证略.
3

a
1 dx (a 0) ，当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. p x
定理(极限判别法)
a 设函数 f ( x ) 在 [a , ) 上连续，(其中 0 )， 且 f ( x ) 0 ，如果
x 0
因此，当 p 0 且q 0 时，该广义积分收敛；
当 p 0 或 q 0 时，该广义积分发散.
12
练习：
P251 习题七
13
x a
0 cf ( x ) g ( x ) ，其中 c 为正的常数，
则当瑕积分 g( x) dx 收敛时， f ( x ) dx 也收敛；
b b a a
当瑕积分 f ( x ) dx 发散时， g( x ) dx 也发散.
b b a a
证略.
8
1 a ( x a ) p dx ，当 0 p 1 时收敛；当 p 1 时发散.
1
于是级数 un 收敛等价于无穷限积分 收敛.
f ( x ) dx
2
定理(比较判别法)
设函数 f (x) 和g(x) 在 [a, ) 上连续，且有
0 cf ( x ) g( x ) ， x [a, ) ，
0 cf ( x) g( x) ，x [a, ) ，其中 c 为正的常数，
1 2
1
所以瑕积分
1 1
1 (1 x 2 )( 4 x 2 )
dx 收敛.
11
例6 判别广义积分
1 0x p1Fra bibliotek(1 x ) q1 dx 的敛散性，
其中 p, q 为常数.
解 显然，当 p 1 且q 1 时，是常义积分；
若 p 1 ，则 x 0 是瑕点，
x 0
a
a
f ( x ) dx 也收敛.
（此时称
f ( x) dx 绝对收敛）
0
证略.
例3
判别广义积分
x e
p x
sin x dx 的敛散性，
其中 p 0 ， 0 ， 0 .
解
由于 | x pex sin x | x pex , x [0, )

x lim arctanx , x 1 x 2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.
6
定理 设函数 f ( x ) 在 [a , ) 上连续( a 0 ). 如果广义
积分
a
| f ( x ) | dx 收敛，则广义积分
10
例5 判别瑕积分 1
1
1 (1 x 2 )( 4 x 2 )
dx 的敛散性.
解 易知 x 1 为瑕点， 由于
x ( 1)
lim (1 x ) f ( x ) lim
x ( 1 )
1 2
1 , 6 (1 x )(4 x 2 )
1
1 lim(1 x ) f ( x ) lim , x 1 x 1 6 (1 x )(4 x 2 )
1
由例 1 知
x p e x dx 收敛，
从而
0
x p e x sin x dx 绝对收敛.
7
二、瑕积分敛散性的判别
定理(比较判别法) 设函数 f ( x ) 和g ( x ) 在( a , b] 上连续，
x a
lim f ( x ) ， lim g( x ) ，且恒有
x
lim x f ( x ) A
p
a
则当 p 1 时，无穷限积分
f ( x) dx 收敛；
当 p 1 且 A 0 时，
a
f ( x ) dx 发散.
证略.
4
例1 判别广义积分
1
x e
p x
dx 的敛散性，其中
p , 为常数，且 0 .
解 由罗必塔法则，
x
lim x x e
2 p
1
x
x p 2 lim x 0 x e
故广义积分
x e
p x
dx ( 0) 收敛.
5
例2 判别广义积分
1
arctanx dx ( 0) 的敛散性. 1 x
解
arctanx 由于 lim x x 1 x
b a
证略.
9
例4 判别瑕积分
1 0
1 x (1 x 2 )
dx 的敛散性.
1 解 易知 x 0 为瑕点， 取 p 1 ， 2
x 0
l i m x f ( x ) lim
x 0
1 0
1 2
1 1 x2
1,
所以瑕积分
1 x (1 x )
2
dx 收敛.