15 1.59
1.41
（3）计算一致性比例 C.I.
C.I . C.R. 当C.R＜0.1时，一般认为判断矩阵一致性可以接受。 R.I .
层次分析法实例
例1：一个好的层次结构对解决问题极为重要。生产怎样的车型能 满足用户的要求？ 选择称心的自行车
售 价
型 式
美 观
强 度
耐 久
耐 久
A种车
B种车
C3－P
C3 P1 P2 P3 P4 P1 1 1 P2 1 1 P3 3 3 1 1 P4 3 3 1 1
1/ 7 1/ 3 1/ 5 1 1/ 5 1/ 3 5 1 3 3 1/ 3 1
1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3
（2）计算J－C的最大特征根及其对应的特征向量
1°每行乘积：
1 1 1 M 1 1 0.066667 5 3 15 M 2 5 1 3 15 1 M 3 3 1 1 3
b11 b21 bn1

b1n b2 n bnn
5 ——表示Bi与Bj相比Bi比Bj极端重要
2，4，6，8 ——则表示Bi与Bj相比处于上述相邻 判断之间。
AK bij nxn 应具有以下性质：
bij 0 1 bij bij bii 1
∴ AK bij
P 1 1 1/ 2
P2 2 1
P3 3 2
P4 4 3 2 1
P5 7 6 5 4 1
1 1/ 5 1/ 3 5 1 3 3 1/ 3 1
1/ 3 1/ 2 1 1/ 4 1/ 3 1/ 2
1/ 7 1/ 6 1/ 5 1/ 4
C2－P
C2 P2 P3 P4 P5 P2 1 7 3 5 P3 P4 P5
max
i 1
n
( AW )i AW1 AW2 AW3 nwi 3W1 3W2 3W3
0.31822 1.935486 0.7848 3.036511 3 0.104721 3 0.636986 3 0.2583
AW max W
同理可计算出
判断阵C1－P的特征向量和最大特征值：
t
C2 P
max 4.0
（3）层次总排序计算： 由前计算得： 层次C C1 0.104729
2.466212 0.636986 3.871692 1 W3 0.258285 3.871692
则所求向量为：
W 0.104729,0.636986,0.258295
4°计算最大特征根λmax
T
1 1 / 5 1 / 3 0.104729 AW1 0.318221 0.636986 AW 1.935486 AW 5 1 3 2 3 1 / 3 1 0.258285 AW3 0.784801
C种车
例 2：
合理使用企业留成利润（J）
调动职工劳动 生产积极性C1
提高企业 技术水平C2
改善职工物质 文化生活状况C2
发奖金 P1
扩大集体 福利设施 P2
办职工 夜校 P3
图书馆 俱乐部 P4
改进先 进设备 P5
(1)判断矩阵J～C
C1－P
J C1 C2 C3
C1
C2
C3
C1 P 1 P2 P3 P4 P5
根法步骤：
①计算矩阵AK的每一行元素的乘积Mi
M i bij
j 1
n
(i 1,2,, n)
②计算Mi的n次方根
wi w (w1 wn )
wi n M i
③对向量规一化后即为
wi wi / w j
j 1
n
④计算
max
( Aw)i i 1 nwi
n
一致性检验
2°计算M1的n次方根
wi
W1 3 M 1 3 0.066667 0.405480 W2 3 M 2 3 15 2.466212 W3 3 M 3 3 1 1
3°对
W1 W2
w
规一化
W1 0.405480 0.104729 Wi 3.871692
第十四章
层次分析法（AHP法）
——The Analytic Hierarcluy Procees 一、概述
二、AHP法的基本步骤
三、AHP法的优缺点
二、AHP的基本步骤
（1）建立问题的递阶层次结构 （2）构造两两比较判断矩阵 （3）计算单一准则下元素的相对权重 （4）计算各层次元素的组合权重
（5）判断矩阵的一致性（一致性检验）

nxn
为正互反矩阵。
计算单一准则下的相对权重
计算单一准则下的相对权重问题→特征根问题 特征根问题的解决有——幂法、根法、和法等
AK w λ max w
λ max ——为AK 的最大特征根 w ——为对应λmax的特征向量，经规一化后，其含量为
［w1……wn］，即为元素B1B2 ……Bn在准则AK下 的排序。
递阶层次结构
决策目标
目标层
准则1
准则1
……
准则K

子目标层
子准则1
子准则K
指标层
方案1
方案m
方案层
结构可分为：网状和树状
构造两两判断矩阵
设A层的元素为AK，隶属于AK的下层指标元素分别为B1B2……Bn，
对A层元素AK的判断矩阵形式为：
AK B1 B2 Bn B1 Bn
其中：bij表示对AK而言，Bi对Bj的相对重要程度 1——表示Bi与Bj相比同样重要 2 ——表示Bi与Bj相比Bi比Bj稍微重要 3 ——表示Bi与Bj相比Bi比Bj明显重要 4 ——表示Bi与Bj相比Bi比Bj特别重要
（1）计算一致性指标 C.I.
C.I .
max n
n 1
n为判断矩阵阶数
（2）平均随机一致性指标
统计结果：
阶数
R.I.
4 5 6 7 8
1
2
3
R.I.
阶数 R.I.
0
9 1.46
0
10 1.40
0.52
11 1.52
0.89
12 1.54
1.12
13 1.56
1.26
14 1.58
1.36
W 0.419934,0.268642,0.166912,0.105314,0.039198
T
max 5.121617
W 0.055023,0.563813,0.117786,0.263378 max 4.1168756 W 0.375,0.375,0.125,0.125 C2 P