(7.2.6)
上式中的2h称为高斯—拉普拉斯滤波(Laplacian of
Gaussian，LoG)算子，也称为“墨西哥草帽”。
22 它是一个轴对称函数，各向同性，它的一个轴截面如 图7.2.9所示。
图7.2.9 2h轴截面和对应的传递函数
由图可见，这个函数在r＝±s处有过零点，在|r|<s时 为正，在|r|>s时为负；
1
第7章 图像分割
7.1 图像分割的定义和分类 7.2 基于边缘的分割 7.3 基于区域的分割 7.4 基于阈值的分割 7.5 基于运动的分割( 7.6 习题
2
7.1 图像分割的定义和分类
1，图象工程的基本内容: （1）图像处理的重要任务就是对图像中的对象进行分析
和理解。 （2）图像分析主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和
h1(x) xh2 (x), h1( y) yh2 ( y)
(7.2.19)
然后两个模板分别与f(x，y)进行卷积，得到
G(x, y)
G(x, y)
Ex x * f , Ey y * f
(7.2.20)
32
令
A(i, j)
Ex2
E
2 y
, a(i,
j)
arctan
Ey Ex
(i, (i,
g
(
x,
y
)
grad(x,
y)＝
f f
x y
＝
f
x (x,
y)
y
梯度的大小代表边缘的强度，梯度方向与边缘走向垂直。
g(x, y) grad(x, y)＝
f
x2＋f
2＝
y
f
(x, x
y)
2＋
f
(x, y
y)
2
11 为检测边缘点，选取适当的阈值T，对梯度图像进行 二值化，则有
1 grad(x, y) T g(x, y) 0 其他
2 f
f x2
f y 2
(7.2.2)
据此，对数字图像的每个像素计算关于x和y的二阶偏
导数之和，以差分方式表示，得到
2f(x，y)＝f(x＋1，y)＋f(x－1，y)＋f(x，y＋1)＋f(x， y－1)－4f(x，y)
上式中的2就是著名的拉普拉斯算子。
19
图7.2.8 Laplacian算子模板
测量，以获得它们的客观信息，从而建立对图像的 描述。 （3）图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研 究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得 出对原始客观场景的解释，从而指导和规划行动。
3
2，目标（对象）与区域 在对图像处理的研究和应用中，人们往往仅对图像中
的某些部分感兴趣，这些感兴趣的部分常称为目标或对象 ，它们一般对应图像中特定的、具有独特性质的区域。 3，图象分割
基于边缘提取的分割法首先检测边缘像素，再将边缘 像素连接起来构成边界形成分割。
8
9
可用一阶导数的幅度值来检测边缘的存在，幅度峰值 一般对应边缘位置。可用二阶导数的过零点检测边缘位置。
10
7.2.1 梯度算子 对阶跃状边缘，在边缘点处一阶导数有极值，因此可
计算每个像素处的梯度来检测边缘点。
f (x, y)
j) j)
(7.2.21) 则A(i，j)反映边缘强度，a(i，j)为垂直于边缘的方向。
一个像素如果满足下列条件，就认为它是边缘点： (1)像素(i，j)的边缘强度大于沿梯度方向的两个相邻 像素的边缘强度； (2)与该像素梯度方向上相邻两点的方向差小于45°；
33
图7.2.11 采用Canny算子得到的边缘二值图像
条件⑤要求分割结果中同一个区域内的任意两个像素 在该区域内互相连通，或者说分割得到的区域是一个连通 成分。
6
7.1.2 图像分割方法分类 1，基于边界的分割算法：区域间灰度的不连续性 2，基于区域的分割算法：区域内灰度的相似性 3，基于阈值的分割算法 4，基于运动的分割算法
7
7.2 基于边缘的分割
在二维空间，Canny算子的方向性质使得它的边缘检测和 定位优于2h，具有更好的边缘强度估计，能产生梯度方 向和强度两个信息，方便了后续处理。
27
对阶跃边缘，Canny推导出的最优二维算子形状与
Gaussian函数的一阶导数相近。取Gaussian函数为
G(x,
y)
1
2π
2
e
x2 2
y
2
2
(7.2.7)
G(x, y) x
kx
e
x2 2 2
e
y2 2 2
h1(x)h2 ( y)
G(x, y) y
kx
e
y2 2 2
e
x2 2 2
h1( y)h2 (x)
31
h1(x)
k
x
e
x2
2 2
,
h2
(y)ຫໍສະໝຸດ kxex2
2 2
(7.2.17)
h1( y)
k
y
e
x2
2 2
,
h2
(
x)
k
x
e
x2
2 2
(7.2.18)
出来了，而真正的边缘又没被检测出来。
由于在成像时，一个给定像素所对应的场景点，它的
周围点对该点的贡献的光强大小呈正态分布，所以平滑函
数应能反映不同远近的周围点对给定像素具有不同的平滑
作用，因此，平滑函数采用正态分布的高斯函数，即
h(
x,
y)
e
x2 y2
2 2
式中，s是方差。 用h(x，y)对图像f(x，y)的平滑可表示为
图像分割是指根据灰度、彩色、空间纹理、几何形状 等特征把图像划分成若干个互不相交的区域，使得这些特 征在同一区域内表现出一致性或相似性，而在不同区域间 表现出明显的不同，即在一幅图像中把目标从背景中分离 出来，以便于进一步处理。
图像分割就是指把图像分成互不重叠的区域并提取 出感兴趣目标的技术。
4
7.1.1 图像分割的定义 图像分割可借助集合概念用如下方法定义：
23
可以证明这个算子定义域内的平均值为零，因此将它 与图像卷积并不会改变图像的整体动态范围。但由于它相 当光滑，因此将它与图像卷积会模糊图像，并且其模糊程
度是正比于的。
正因为2h的平滑性质能减少噪声的影响，所以当边 缘模糊或噪声较大时，利用2h检测过零点能提供较可靠
的边缘位置。在该算子中，的选择很重要，小时边缘位 置精度高，但边缘细节变化多；大时平滑作用大，但细
的起伏走向。 LoG算子可表示为：
2 4 4 4 2 4 0 8 0 4 4 8 24* 8 4 4 0 8 0 4 2 4 4 4 2
25 采用LoG算子对图7.2.4(a)进行边缘检测的结果如图 7.2.10所示。
图7.2.10 采用LoG算子得到的边缘二值图像
Gn* f (x, y) cos G(x, y) * f (x, y) sin G(x, y) * f (x, y)
x
y
G(x, y) * f (x, y)
(7.2.14)
30
可见，Canny
G(x，y)*f(x，y)基础之上，
得到边缘强度和方向，通过阈值判定来检测边缘。
实际计算时，把二维卷积模板分解为两个一维滤波器：
在某一方向n上，G(x，y)的一阶方向导数为
式中，
Gn (x,
y)
G(x, n
y)
nG(x,
y)
G(x, y)
n
cos
s i n
,
G(x,
y)
x
G(x, y)
y
(7.2.8)
28
将f(x，y)与Gn进行卷积，改变n的方向，使f(x，y)*Gn 取得最大值的方向就是梯度方向(正交于边缘走向)，由
5
条件①指出对一幅图像的分割结果中全部区域的总和 (并集)应能包括图像的所有像素(即原图像)；
条件②指出分割结果中各个区域是互不重叠的，或者 说在分割结果中一个像素不能同时属于两个区域；
条件③指出属于同一个区域的像素应该具有某些相同 特性；
条件④指出分割结果中属于不同区域的像素应该具有 一些不同的特性；
图7.2.11所示为Canny算子检测出的边缘二值化图像。 对比可知，Canny算子的边缘检测效果优于传统的Sobel和 Marr检测算子。
35
7.2.8 曲面拟合法
基于差分检测图像边缘的算子往往对噪声敏感，因此 对一些噪声比较严重的图像进行边缘检测就难以取得满意 的效果，此时可用平面或高阶曲面来拟合图像中某一小区 域的灰度表面，求这个拟合曲面中心点处的梯度，再进行 边缘检测。
[Gn
*
f
(x,
y)]
cos
G ( x, x
y)
*
f
(x,
y)
sin
G ( x, y
y)
*
f
(x,
y)
0
29
因此，对应于Gn*f(x，y)变化最强的方向导数为
n G(x, y) * f (x, y) G(x, y) * f (x, y)
(7.2.13)
在该方向上Gn*f(x，y)有最大的输出响应：
令集合R代表整个图像区域，对R的分割可看做将R分 成若干个满足以下5个条件的非空的子集(子区域)R1， R2，…，Rn(其中P(Ri)是对所有在集合Ri中元素的逻辑谓 词，Ø是空集)：
n
① Ri R; i1
②对所有的i和j，i≠j，有Ri∩Rj＝ Ø ③对i＝1，2，…，n，有P(Ri)＝TRUE； ④对i≠j，有P(Ri∪Rj)＝FALSE； ⑤对i＝1，2，…，n，Ri是连通的区域。