培优专题(六) 一次函数与动点问题
1．[201德4·惠一模 ]如图1，点A，B的坐标分别为 (1，0)、(0，1)，
点P是第一象限内直线 y＝－x＋3上的一个动点，当点 P的横坐
标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积 ( D )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先减小后增大
D．不变
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图1
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4．已知，如图 4所示，直线 PA 与x轴交于点 A ，与y轴交于点 C(0， 2)，且S△AOC＝4，直线BD 与x轴交于点 B，与y轴交于点 D，直 线PA 与直线BD 交于点P(2，m)，点P在第一象限，连接 OP. (1)求点 A 的坐标； (2)求直线PA 的解析式； (3)求m 的值； (4)若S △BOP ＝S△DOP，请你直接写出直线 BD 的解析式．
值是 C′D.
连接 CD，在 Rt △DCC′中，
C′D＝ C′C2＋CD2＝2 2， 即 PC＋PD 的最小值为 2 2， ∵OA，AB 的中点分别为 C，D，
第5题答图
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∴CD 是△ OBA 的中位线， ∴ OP ∥ CD， CD＝12OB ＝ 2， ∵C′O＝OC，∴OP 是△C′CD 的中位线， ∴OP＝12CD＝1，∴点 P 的坐标为 (0，1)．
(3)探究：当 P 运动到什么位置时，三角形 OPA 的面积为 287？ 并说明理由．
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图3
解：(1)∵点 E(－8，0)在直线 y＝kx＋6 上， ∴0＝－ 8k＋6，∴k＝34； (2)∵k＝34， ∴直线的解析式为： y＝34x＋6，
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∵P
点在
y＝ 34x＋ 6
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(3)设点 P(m，n)，则△OPA 的面积为 62|n|＝287，
解得|n|＝98，则 n＝98或 n＝－98.
当
n＝ 98时， 98＝34m＋ 6，则
m＝－123，故
P??－
?
123，98???；
当 n＝－98时，－98＝34m＋6，
则 m＝－129，故 P(－129，－98)．
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∴直线 BD 的解析式为 y＝－32x＋6.
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5．如图 5，一次函数 y＝kx ＋b的图象与 x轴，y轴分别交于点 A(2， 0)，B (0 ，4)． (1)求该函数的解析式； (2)O为坐标原点，设 OA，AB 的中点分别为 C，D，P为OB 上一 动点，求 PC＋PD的最小值，并求取得最小值时 P点的坐标．
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则 PM∥OD，PN∥OB， ∴ OM＝ BM ， ON＝ DN， ∴ OD＝2PM ， OB＝2PN ，∵ P(2， 3)， ∴ PM ＝ 3， PN＝ 2，∴ OD＝ 6， OB＝ 4， 即 D(0，6)，B(4，0)， 设直线 BD 的解析式是 y＝kx ＋b， 则????06＝＝4bk，＋b， 解得： k＝－32，b＝6，
第1题答图
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【解析】 连接 AB，∵点 A，B 的坐标分别为 (1，0)，(0，1)，
∴设 AB 所在直线的解析式为： y＝kx＋b，
∴???
k
＋
b＝0， 解得
?? k
?
＝－
1，
?b＝ 1，
? b＝1，
∴AB 所在直线的解析式为： y＝－ x＋1，
∵点 P 是第一象限内直线 y＝－x＋3 上的一个动点，
①
图2
②
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3．如图3，直线y＝kx ＋6与x轴，y轴分别交于 E，F，点E坐标为 (－8， 0)，点A的坐标为 (－6，0)，P(x，y)是直线 y＝kx ＋6上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点P在第二象限内运动时，试写出三角形 OPA 的面积S与x的函 数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
∴两直线平行，
∴P 到直线 AB 的距离是定值，
∵S△AOB 是定值， AB 是定值， P 到直线 AB 的距离是定值， ∴当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积不变．
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2．[2014·徐州]如图2①，在正方形 ABCD 中，点P沿边DA从点D开始向 点A以1cm/s 的速度移动；同时，点 Q沿边AB ，BC从点A开始向点 C 以2cm/s 的速度移动．当点 P移动到点 A时，P，Q同时停止移动．设 点P出发xs时，△PAQ 的面积为 ycm 2，y与x的函数图象如图 2②所 示，则线段 EF 所在直线对应的函数关系式为 ___y＝___1_8_－__3_x_ ．
∴直线 PA 的解析式为 y＝12x＋2；
第4题答图
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(3)∵点 P(2，m)在直线 PA 上，
∴m＝12×2＋2， ∴m＝3； (4)∵S△BOP＝S△ DOP，△BOP 的边 BP 上的高和 △DOP 的边 DP 上的 高相同， ∴ PD＝ PB ， 即 P 为 BD 中点， 过 P 作 PM⊥OB 于 M，作 PN⊥OD 于 N，如答图，
点 A，B 的坐标代入 y＝kx ＋b 得
??2k＋b＝
?
?b＝ 4，
0， 解得
??k＝－
?
? b＝ 4.
2，
∴该函数的解析式为 y＝－2x＋4；
(2)设点 C 关于点 O 的对称点为 C′，连接 C′D 交
OB 于 P，则 PC＝PC′， ∴PC＋PD＝PC′＋PD＝C′D，即 PC＋PD 的最小
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6．如图 6，已知直线 y＝－ 33x＋1 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B， 以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC ，∠BAC ＝ 90°.且点 P(1，a)为坐标系中的一个动点．
上，设
?
P?x
?
，43x＋
6??，
?
∴△ OPA
以
OA
为底的边上的高是
???43x＋
?
6?，
?
当点 P 在第二象限时， ???34x＋6???＝34x＋6，
∵点 A 的坐标为 (－6，0)，
∴ OA＝ 6.
∴
S＝6???34x2＋
?
6? ?＝
94x＋
18.
∵P 点在第二象限，
∴－ 8＜x＜0；
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图4
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解：(1)∵点 C(0，2)，S△AOC＝4，
而 S△AOC＝12· AO· OC， ∴ AO＝4， ∴点 A 的坐标为 (－4，0)； (2)设直线 PA 的解析式为 y＝kx＋b，
则有???
?
0＝－ 4k ＋b，
2＝b，
解得
?? ? ??
k＝12， b＝2，