高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根班级 姓名一、知识要点：1．复数模、共轭复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式121212z z z z z z -≤±≤+ 模与共轭的联系2zz z = 2．复数的几何（向量）意义z x yi =+在复平面上对应点(,)Z x y ，也对应着向量OZ复数z 满足z a z b -=-，轨迹表示复数,a b 对应的点,A B 组成的线段的中垂线复数z 满足0z z r -=，轨迹表示以0z 为圆心，r 为半径的圆复数z 满足,1,z a z b R λλλ+-=-≠∈，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，θ是复数的辐角，[0,2)θπ∈时称为复数的辐角主值运算法则：11111(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，22222(cos sin ),0z r i r θθ=+≥ 乘法121212121(cos()sin()),0z z r r i r θθθθ=+++≥ 除法111212122(cos()sin()),0z r i r z r θθθθ=-+-≥ 乘方(cos sin ),0n nz r n i n r θθ=+≥开方(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，z 有n 个n 次方根：22sin ),0,1,2,...,1k k k z i k n n nπθπθ++=+=- 4．单位根：记222cos sin in e i n nπππζ==+，其中i 为虚数单位，多项式1nx -有n 个互不 相等的根2,,,(1)nζζζ⋅⋅⋅=，它们称为n 次单位根。

易于看到，在复平面上，n 个n 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正n 边形的顶点。

5．n 次单位根的性质：（1）设k 和l 是整数，则k l ζζ=的充分必要条件是(mod )k l n ≡（2）任意两个n 次单位根的乘积仍是一个n 次单位根；任意一个n 次单位根的倒数也是一 个n 次单位根。

（3）设k 是整数，(,)1k n =，则()(1,2,,)k ll n ζ=⋅⋅⋅恰给出全体n 次单位根。

证明：因为(,)1k n =，所以,2,,k k nk ⋅⋅⋅是模n 的一个完系6．因2,,,(1)n ζζζ⋅⋅⋅=是1nx -的n 个不同的根，故有11(1)()()n n x x x x ζζ--=--⋅⋅⋅-，又)1)(1(1221+++⋅⋅⋅++-=---x x x x x x n n n ，所以（1）)())((112221----⋅⋅⋅--=+++⋅⋅⋅++n n n x x x x x x x ζζζ（2）0112=+⋅⋅⋅+++-n ζζζ7．310x -=的根为21,,x ωω=，（可设122ω=-+），有 （1）210ωω++=，（2）3313221,,nn n ωωωωω++===，（3）221,1ωωωω==--二、例题精析例1．（1） z 为模大于1的复数，155cos sin 22iz z θθ+=-，则z= ． （2）（13北约6）模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC CA ABA B C++=++( ) A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定例2．（2006年上海交大）已知1z =，k 是实数，z 是复数，求21z kz ++的最大值。

例3．若关于x 的二次方程2220x x -+=，2210x mx ++=的解在复平面上对应的四个不 同的点共圆，求实数m 的取值范围。

例4．设M 是单位圆122=+y x 上的动点，点N 与定点A(2, 0)和点M 构成一个等边三角 形的顶点，并且M →N →A →M 成逆时针方向，当M 点移动时，求点N 的轨迹。

例5．已知单位圆的内接正n 边形1,,n A A ⋅⋅⋅及圆周上一点P ，求证：212nk k PA n ==∑。

例6．设n 是正整数，证明：（1）036901(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=+ （2）1471011(2)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+（3）2581121(4)(22cos )33n n n n n n S C C C C π-=++++⋅⋅⋅=+例7．(2011年清华金秋营)求sinn πsin n π2sin nn π)1(-的值。

三、精选习题1．（13华约5）若复数11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应11w+的点，则点(),Z x y 的轨 迹是（ ）(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧2．关于()x x C ∈的一元二次方程210x x m ++-=有一根模长为1，则m =___________3．若虚数ω满足31ω=，则21________nn ωω++=，其中n 是正整数。

4．已知12122,3,4z z z z ==+=，则12________zz =。

5．（2006年清华）求最小正整数n ，使得1()2n I =+为纯虚数，并求出I ．6．设P 为椭圆14922=+y x 上任意一点，以OP 为边长作矩形OPQR （字母顺序按逆时针 方向），使OP OR 2=，求动点R 的轨迹．7．（2011年卓越）i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，求2221z z z i-+-+的最大值。

8．复平面内区域A 由复数z 对应的点Z 组成，若40z 与40z的实部与虚部都在0与1之间， 求区域A 的面积。

9．(2013北大）求265522i ieeππ++的值。

10．若复数z 满足1z =，且存在负数a ，使得2220z az a a -+-=，求a 的值。

11．证明：048121(22cos)24nn nnnn C C C π-+++⋅⋅⋅=+。

高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根例1．（1）【解】21155cos sin 22z zz iz z θθ++⇔==-两边取模21555cos sin 222z i z θθ+⇔=-=得1(2z =舍去)或2，故5=2(cos sin )55cos sin 22z i i θθθθ=+-（2）【解】方法一：2zz z =由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++, 也即2BC AC AB BC AC AB BC AC AB A B C A B C A B C++++++=⨯++++++ 313B A C A AB CB AC BCAB AC B A BC C A CB++++++==++++++,故选B. 方法二：由题知1AA BB CC ===,所以1A A =，1B B =，1C C=例4．300300(cos sin )AM i AN=+⋅300300(cos sin )()OM OA i ON OA -=+⋅-1222()x y i x yi -''+-=+-222x y i +--+=+x y ''==221x y ''+=221+=整理得22230x y x +-++=即22(1)(1x y -+-= 例5．证明：设222cossin i nei n n πππζ==+，1,,n A A ⋅⋅⋅对应的复数是211,,,,n ζζζ-⋅⋅⋅。

又设P 对应的复数为cos sin i z e i θθθ==+，1112221()()(1)nn n n k kkk k k k k k k PA z z z z z z ζζζζζ-----=====-=--=--+∑∑∑∑11122n n n kk k k k z z z n n ζζ----====--+=∑∑∑例6．在二项展开式01(1)n n nn n n x C C x C x +=++⋅⋅⋅+中，依次取21,,x ωω=（设122i ω=-+），则0122012220122(1)(1)n nnS S S S S S S S S ωωωωωω⎧++=⎪++=+⎨⎪++=+⎩相加得2032(1)(1)2(cos sin )(cos sin )3333nnnnn n S i i ππππωω=++++=+++- 得036901(22cos )33n n n n n n S C C C C π=++++⋅⋅⋅=+ 在0122012220122(1)(1)nnn S S S S S S S S S ωωωωωω⎧++=⎪++=+⎨⎪++=+⎩中从上到下各式分别乘以21,,ωω，求得 22111(2)(2(1)(1))(22cos )333n n n n n S πωωωω-=++++=+从上到下各式分别乘以21,,ωω，求得22211(4)(2(1)(1))(22cos )333n n n n n S πωωωω-=++++=+例7．解：设ni n ππεsincos+=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεε 为012=-nx的根。

k k k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin n π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεε =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεε =1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεε ,而)())(()1(224222----n x x x εεε =12)2(2)1(2+++--x x x n n ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεε12)1(sin 2sin sin -=-∴n n n n n n πππ2．实系数一元二次方程，0∆<时有两个共轭的虚数根，且根的情况一般要分实数、虚数讨论。

【解】1) 504m ∆≥⇔≥时，方程有两个实根，其中有一根为1或-1 代入得11m =-或2) 504m ∆<⇔>时，方程有两个共轭的虚根，由韦达定理2112zz m z m =-==⇒=综上所述：1m =±或26．椭圆1361622=+y x 8．【解】设,,z x yi x y R =+∈040040404040x z x yi y ≤≤⎧=+⇒⎨≤≤⎩ 2222222240014040404001xx yx y i yz x y x y x y⎧≤≤⎪+⎪=+⇒⎨++⎪≤≤⎪+⎩2222040040400400x y x y x x y y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⇒⎨+-≥⎪⎪+-≥⎩ 由线性规划知图中阴影部分即为区域A故面积为22314020120020042ππ⨯-=- 11．在二项展开式01(1)n n nn n n x C C x C x +=++⋅⋅⋅+中， 依次取1,1,,x i i =--（4次单位根），则相加得0484()2(11)(1)(1)n n n nn n n C C C i i +++⋅⋅⋅=+-+++-2222(cossin )2(cos sin )4444nn nnn i i ππππ=+++- 所以048121(22cos)24nn n n n n C C C π-+++⋅⋅⋅=+。