2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则∁R A＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣3，1）D．[﹣3，1]2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0 5．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．56．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．37．（5分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y＝﹣B．y＝lg（﹣1）C．y＝2x D．y＝2x+2﹣x8．（5分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2＝1，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）＝，则函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1的零点的个数为（）个．A．3B．4C．5D．6二、填空题（每小题5分，共10分）13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝．14．（5分）在平面直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心且与直线（3m+2）x+（m﹣1）y ﹣5（m+1）＝0，（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．三、解答题（每小题10分，共30分）15．（10分）已知函数f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0．（1）求实数m的值；（2）作出函数f（x）的图象；（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（4）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．16．（10分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD．17．（10分）已知O为坐标原点，直线l的斜率为﹣，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．18．（10分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于．19．（10分）方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，则实数m的取值范围为．20．（10分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C 在第一象限．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC 的面积最小时，求切线PB的方程．21．（10分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面．（1）求证：EF⊥平面APC；（2）在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+）．（1）若lg9＝t，求f（﹣1）的值（用t表示）．（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）．（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则∁R A＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣3，1）D．[﹣3，1]【分析】先求出集合A，再由补集定义能求出∁R A．【解答】解：∵R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，∴∁R A＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故选：A．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣1，∴直线x+y+1＝0的倾斜角α＝．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．3．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．【解答】解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选：D．【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．4．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c＝0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4＝0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c＝0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c＝0∴c＝1∴所求直线方程为3x+2y﹣1＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．5．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为＝2剪去的三棱锥体积V2为：＝所以几何体的体积为：2﹣＝，故选：A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，考查学生的计算能力，是基础题．6．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3【分析】由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1＝0的距离d＝＝2，由勾股定理切线长最小值为：＝．【解答】解：圆x2﹣6x+y2+8＝0⇒（x﹣3）2+y2＝1的圆心C（3，0），半径r＝1，∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1＝0的距离d＝＝2，由勾股定理切线长最小值为：＝．故选：C．【点评】本题考查圆的切线长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．7．（5分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y＝﹣B．y＝lg（﹣1）C．y＝2x D．y＝2x+2﹣x【分析】逐一判断各个函数在它的定义域上的单调性以及奇偶性，从而得出结论．【解答】解：由于y＝﹣在定义域{x|x≠0}上没有单调性，故排除A；由于y＝lg（﹣1）的定义域不关于原点对称，故它不是奇函数，故它的图象一定不关于原点对称，故排除B；由于y＝2x在定义域R上是单调递增函数，且是奇函数，故它的图象关于原点对称，故满足条件；由于y＝2x+2﹣x是偶函数，它的图象关于y轴对称，故不满足条件，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，函数的图象特征，属于中档题．8．（5分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．【解答】解析：∵由指数、对数函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．【点评】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】在①中，由面面垂直的判定理定理得α⊥β；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，由线面平行判定定理得n∥α且n∥β；在④中，m与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在①中：若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定理定理得α⊥β，故①正确；在②中：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．④若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】由三棱锥的体积为，求出AD＝4，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与DC所成角的大小．【解答】解：∵三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．此三棱锥的体积为，∴V D﹣ABC＝＝＝，解得AD＝4，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则B（4，0，0），C（0，4，0），E（2，0，2），D（0，0，4），A（0，0，0），＝（2，0，2），＝（0，4，﹣4），设异面直线AE与DC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴异面直线AE与DC所成角的大小为60°．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．11．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2＝1，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由的几何意义，即圆x2+y2＝1上的动点与定点P（2，0）连线的斜率求解．【解答】解：如图，设过P（2，0）的直线的斜率为k，则直线方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，由坐标原点O（0，0）到直线kx﹣y﹣2k＝0的距离等于1，得，解得：k＝．∴的取值范围是[]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）已知f（x）＝，则函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1的零点的个数为（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，画出函数f（x）＝的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如下图所示：由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1有5个零点，故选：C．【点评】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．二、填空题（每小题5分，共10分）13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣x）＝﹣f（x），即+a＝﹣（+a），解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其中2x﹣1≠0，则x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，若f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），即+a＝﹣（+a），解可得a＝；故答案为：﹣．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，注意奇函数的性质即可．14．（5分）在平面直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心且与直线（3m+2）x+（m﹣1）y ﹣5（m+1）＝0，（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：（法1）圆心（1，0）到直线（3m+2）x+（m﹣1）y﹣5（m+1）＝0的距离：d＝＝＝．令y＝，整理可得（10y﹣4）m2+（10y﹣12）m+5y﹣9＝0，因为m∈R，所以△＝（10y﹣12）2﹣4（10y﹣4）（5y﹣9）＝﹣100y2+200y≥0，解得0≤y≤2，故此时y最大值为2，即r2＝d2＝2，此时圆方程为（x﹣1）2+y2＝2，故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．（法2）由条件可的直线（3m+2）x+（m﹣1）y﹣5（m+1）＝0恒过定点B（2，﹣1），当点B为切点时，半径最大，此时r＝＝，则圆方程为：（x﹣1）2+y2＝2，故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，是基础题．三、解答题（每小题10分，共30分）15．（10分）已知函数f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0．（1）求实数m的值；（2）作出函数f（x）的图象；（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（4）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．【分析】（1）直接解方程f（4）＝0即可（2）将绝对值去掉化为分段函数，再根据分段函数作图象（3）根据图象即可求出单调区间（4）根据图象数形结合易得交点个数．【解答】解：（1）∵f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0，4|m﹣4|＝0，∴m＝4．（2），由（1）可知，f（x）＝x|4﹣x|＝，故函数图如下：函数的递增区间为：（﹣∞，2），（4，+∞）；递减区间为：[2，4]．（3）∵f（2）＝4，∴方程f（x）＝a只有一个实数根⇔方程组只有一组解⇔函数y＝f（x）的图象与直线y＝a只有一个交点⇔a∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）故a的取值范围（﹣∞，0）∪（4，+∞）【点评】本题考查含有绝对值的函数图象画法，以及根据图象数形结合讨论函数的性质，属于基础题．16．（10分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD．【分析】（Ⅰ）由AD⊥平面ABE，AD∥BC可证BC⊥AE，又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，可证BF⊥AE即可证明AE⊥平面BCE；（Ⅱ）连接AC与BD，相交于点G，连接GF，则G为AC的中点．可证BF⊥CE，由BC＝EB，可证GF∥AE，即可判定AE∥平面BFD．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE∵BC⊂平面BCE，BF⊂平面BCE，BC与BF相交∴AE⊥平面BCE；…6分（Ⅱ）连接AC与BD，相交于点G，连接GF，则G为AC的中点．∵BF⊥平面BCE，CD⊂平面BCE∴BF⊥CE∵BC＝EB，∴F为CE的中点∴在△ACE中，GF∥AE∵GF⊂平面BFD，AE⊄平面BFD∴AE∥平面BFD…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．17．（10分）已知O为坐标原点，直线l的斜率为﹣，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．【分析】（1）设直线在y轴上的截距为m（m＞0），取y＝0求出直线在x轴上的截距，代入三角形面积公式求得m，则直线方程可求；（2）利用重心坐标公式求重心，利用两边垂直平分线的交点求外心，由两内角平分线的交点求内心，再由斜率的关系判断不共线．【解答】解：（1）如图，设直线在y轴上的截距为m（m＞0），则直线方程为y＝﹣，取y＝0，得x＝．由，解得m＝3．∴直线l的方程为y＝﹣；（2）由（1）可得，A（4，0），B（0，3）．由重心坐标公式可得G（，1）；联立直线，得M（2，）；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝﹣tan＝﹣＝﹣．∴∠BAO的角平分线方程为y＝﹣，联立，解得N（1，1）．∵，，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．【点评】本题考查直线方程的求法，考查计算能力，是中档题．18．（10分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于4π．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA＝AB＝1，BC＝，∴2R＝＝2∴球O的表面积S＝4•πR2＝4π故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的直径（半径），是解答本题的关键．19．（10分）方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，则实数m的取值范围为（﹣3，0]．【分析】方程有唯一解，化为﹣x2+3x﹣m＝3﹣x有两个相等的实根在（0，3）内，即△＝0，或方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x有两个不等的实根，其中一个在（0，3）内，即对应函数在（0，3）上存在一个零点，根据零点存在定理，构造关于m的不等式，解不等式可得答案．【解答】解：由题意方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，就是方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x在x∈（0，3）内有唯一解，令f（x）＝﹣x2+4x﹣m﹣3，若方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x在x∈（0，3）内有唯一解，则f（0）•f（3）＜0，或△＝16﹣4（m+3）＝0，或m＝1，即（﹣m﹣3）（﹣m）＜0，或m＝0，或m＝1．解得：﹣3＜m≤0或m＝1．经检验，m＝1不合题意，∴﹣3＜m≤0．故答案为：（﹣3，0]．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，解答时易忽略方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x有两个相等的实根在（0，3）内，即△＝0的情况，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．20．（10分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C 在第一象限．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC 的面积最小时，求切线PB的方程．【分析】（Ⅰ）由题意设圆心坐标为（a，1），则半径为r＝a（a＞0），再由圆被x轴所截得的弦长为2，利用垂径定理求得a＝2，则圆C的方程可求；（Ⅱ）P为直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，可知，要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，求出CP所在直线方程，与直线l联立解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，再由圆心到切线的距离等于半径求得k，则切线PB的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与y轴相切于点A（0，1），圆心C在第一象限，∴设圆心坐标为（a，1），则半径为r＝a（a＞0），又圆被x轴所截得的弦长为2，可得，得a＝2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；（Ⅱ）如图，P为直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，连接CB，则CB⊥PB，∴△PBC的面积S＝．要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，由l：2x+y+5＝0，可得k l＝﹣2，则CP所在直线斜率为，由直线方程的点斜式可得CP：y﹣1＝，即x﹣2y＝0．联立，解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0．由，解得k＝0或k＝．∴所求切线PB的方程为y＝﹣1或4x﹣3y+5＝0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．21．（10分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面．（1）求证：EF⊥平面APC；（2）在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据正方体的结构特征可证BD⊥平面P AC，由四边形BEFD为平行四边形得出BD∥EF，故EF⊥平面P AC；（2）可得ABEP﹣CDF的体积为长为2的正方体的体积的，若在棱BC上存在点G，即三棱锥E﹣FBG的体积为，可得，解得h＝，即可判定．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD．又AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴EF∥BD．∴EF⊥平面P AC．（2）如图对几何体ABEP﹣CDF进行分割，可得ABEP﹣CDF的体积为长为2的正方体的体积的，若在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的，即三棱锥E﹣FBG的体积为，可得，解得h＝，∵AC⊥面BEF，且C到面BEF的距离为，∵，∴在棱BC上不存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP ﹣CDF的体积的．【点评】本题考查了线面垂直的判定，体积的计算，属于中档题．22．（10分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+）．（1）若lg9＝t，求f（﹣1）的值（用t表示）．（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）．（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）把x＝﹣1代入函数解析式，结合对数的运算性质可得f（﹣1）的值；（2）由已知等式可得函数的对称轴方程，由复合函数的单调性判断函数在（1，+∞）上单调递增，把f（2﹣2x）＜f（x+3）转化为|2﹣2x﹣1|＜|x+3﹣1|求解；（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，即x2﹣2ax+1﹣a＝0在（1，+∞）上有解，利用一元二次方程根的分布分类分析得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+），∴f（﹣1）＝f（3）＝lg＝1﹣lg3，∵lg9＝t，∴t＝2lg3，则lg3＝，∴f（﹣1）＝1﹣lg3＝1﹣；（2）∵函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），∴f（x）图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f（x）＝lg（x+），由复合函数的单调性可知该函数在（1，+∞）上单调递增，∴f（2﹣2x）＜f（x+3）可化为|2﹣2x﹣1|＜|x+3﹣1|，即|2x﹣1|＜|x+2|，解得x∈（﹣，3）；（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，即lg（x +）＝lg （+2a）在（1，+∞）上有解，也就是x2﹣2ax+1﹣a＝0在（1，+∞）上有解．若x2﹣2ax+1﹣a＝0在（1，+∞）上有两根，则，此不等式组无解；若x2﹣2ax+1﹣a＝0一根大于而另一根小于1，则1﹣2a+1﹣a＜0，解得a．综上，若关于x的方程f（x）＝lg （+2a）在（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查函数的对称性与单调性，考查转化与化归思想方法，考查一元二次方程根的分布，是中档题．第21页（共21页）。