应用题：
1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本;
(2)当生量x 为多少时,平均成本最小?
解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
C （X ）=100+0.25X 2+6X c (X)=
X
100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =－2
100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.
2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求:
(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?
解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000
因为q=1000－10p,即p=100－
101q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－101q)q=100q －10
1 q
2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －101 q 2－(60q+2000) =40q －10
1 q 2－2000 且'L (q)=(40q －10
1 q 2－2000)’=40－0.2q 令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。
3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的
试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少?
1、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p)
=250000－400p
R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2
利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令
'L (p)=2400－8p=0
得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。
（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)
4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q 2 (元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),试求:
2、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p)
=250000－400p
R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2
利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令
'L (p)=2400－8p=0
得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。
（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)
(1)产量为多少时可使利润达到最大? (2)最大利润是多少?
5.某厂每天生产某产品q 件的成本函数为C(q)=0.5q 2 +36q+9800(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?
6.已知某厂生产q 件产品的成本为C(q)=250+20q+ 10
2q (万元).要使平均成本最 少,应生产多少件产品?
答案：
3、 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
C （X ）=100+0.25X 2+6X
c (X)=X
100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以,C(10)=100+0.25×102+6×10=185 c (10)=
10100+0.25×10+6=18.5 C '(10)=0.5×10+6=11
(2)令'C =－2
100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.
4、 解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000
因为q=1000－10p,即p=100－10
1q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－
101q)q=100q －10
1 q
2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －10
1 q 2－(60q+2000) =40q －10
1 q 2－2000 且'L (q)=(40q －101 q 2－2000)’=40－0.2q
令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。
5、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p)
=250000－400p
R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2
利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令
'L (p)=2400－8p=0
得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。
（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)
4、解：（1）由已知R=qp=q(14－0.04q)=14q －0.01q 2
利润函数L=R －C=14q －0.01q 2－20－40q －0.01 q 2=10q －20－0.02q 2
则'L =100－0.04q,令'L =10－0.04q=0，解出唯一驻点q=250
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大。
（2）最大利润为
L （250）=100×250－20－0.02×2502=2500－20－1250=1230（元）
5、解：因为C (q)= q q C )(=0.5q+36+q
9800(q>0) 'C (q)=(0.5q+36+
q 9800)’=0.5-29800q 令'C (q)=0 ，即0.5－2
9800q =0，q 1=140,q 2=－140得 （舍去）。
q 1=140是'C (q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。
所以q 1=140是平均成本函数C (q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量成为140件，此时的平均成本为
C (140)=0.5×140+36+
140
9800=176(元/件) 6、解：（1）因为C (q)=
q q C )(=q 250+20+0q q 'C (q)=（q 250+20+10
q ）’=－2250q +101 令'C (q)=0， 即－2250q +101=0，得q 1=50，q 2=－50（舍去）。
q 1=50是C (q)其定义域内的唯一驻点。
所以，q 1=50是C (q)最小值点，即要使平均成最小，应生产50件产品。