概率论与数理统计试卷二
一、（10分）对一个三人学习小组考虑生日问题
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。
二、（10分）在八个数字中0, 1, 2, …,7中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？
三、（10分）袋中装有30个乒乓球，其中20个黄的，10个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一次，取后不放回，试求第二次取得黄球的概率。
四、（10分）设盒中有5个球，其中2个白球，3个红球，现从中随机取3球，设X 为抽得白球数，试求X 的数学期望与方差。
五、（12分）设随机变量X 服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：
⎩⎨⎧≤>=-0
003)(3x x e x f x
X 试求22X Y =的概率密度函数与数学期望。
六、（12分）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在C 90，液体的温度X （以C 记）是一个随机变量，服从正态分布,其方差为26.0 ，试求液体的温度保持在C 91~89的概率。
七、（12分）设随机变量X 与Y 具有概率密度：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它020,20)(81),(y x y x y x f
试求：)(),(Y D X D ，与)32(Y X D -。
八、（12分）试求正态总体)5.0,(2μN 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。
九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。
在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：
999.17 993.05 1001.84 1005.36 989.8
1000.89 1003.74 1000.23 1001.26 1003.19
试求未知参数μ，2σ及σ的置信度为0.95的置信区间。
(262.2)9(025.0=t ,023.19)9(2025.0=χ,7.2)9(2975.0=χ)
试卷参考解答
一、（10分）对一个三人学习小组考虑生日问题
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。
解： （1）0525.0343
1837671711==⨯⨯⨯=p （2）9446.0343
32437676717676762==⨯⨯⨯+⨯⨯=p （3）9971.0343
34271717113==⨯⨯-=p
二、（10分）在八个数字中0, 1, 2, …,7中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 解：4464.05
6785663567=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=p
三、（10分）袋中装有30个乒乓球，其中20个黄的，10个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一次，取后不放回，试求第二次取得黄球的概率。
解： 设i A =第i 次取得黄球，2,1=i
3
230202920301029193020)|()()|()()(1211212==⨯+⨯=
+=A A P A P A A P A P A P 四、（10分）设盒中有5个球，其中2个白球，3个红球，现从中随机取3球，设X 为抽得白球数，试求X 的数学期望与方差。
解： 1.0101}0{3533====C C X P ，6.010
6}1{352312====C C C X P 3.010
3}2{351322====C C C X P
2.1
3.026.011.00)(=⨯+⨯+⨯=X E
8.13.026.011.00)(2222=⨯+⨯+⨯=X E
36.0)2.1(8.1)]([)()(222=-=-=X E X E X D
五、（12分）设随机变量X 服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：
⎩⎨⎧≤>=-0
003)(3x x e x f x
X 试求22X Y =的概率密度函数与数学期望。
解：22x y =, 04>='x y ,（0>x ） 2/y x =, y x 221=
' (0>y ) ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>='=-000223)())(()(2/3y y e y y h y h f y f y X Y dx xe e x dx e x X E Y E x x x ⎰⎰+∞-∞+-+∞
-+-=⋅==030
3203224|232)2()( 9
4|9434|34030303=-=+-=∞+-∞+-∞+-⎰x x x e dx e xe 另解：因为 23
1)(,31)(),3(~==X D X E Z X })]([)({2)(2)2()(222X E X D X E X E Y E +⨯===9
4319122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=
六、（12分）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在C 90，液体的温度X （以C 记）是一个随机变量，服从正态分布,其方差为26.0 ，试求液体的温度保持在C 91~89的概率。
解：()()6667.16667.16.090896.09091}9189{-Φ-Φ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<<X P ()9044.019522.0216667.12=-⨯=-Φ=
七、（12分）设随机变量X 与Y 具有概率密度：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它020,20)(81),(y x y x y x f
试求：)(),(Y D X D ，与)32(Y X D -。
解：20)1(4
1)2212(81)(81)(22
0<<+=+=+=⎰x x x dy y x x f X 20)1(4
1)2221(81)(81)(220<<+=+=+=⎰y y y dx y x y f Y )(6
71214)221231(41)1(41)(2320Y E dx x x X E ===+=+⋅=⎰ )(3
51220)231241(41)1(41)(2342022Y E dx x x X E ===+=+⋅=⎰ 36
11676735)]([)()(22=⨯-=-=X E X E X D dxdy xy dxdy y x dxdy y x xy XY E ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=20
2202022020208181)(81)( 3
423122181221231813223=⨯⨯+⨯⨯= 36
1676734)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov 3056.4361553612361113),(Cov 12)(9)(4)32(==+⨯=-+=-Y X Y D X D Y X D 八、（12分）试求正态总体)5.0,(2μN 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。
解：)105.0,(~2μN X ，)155.0,(~2μN Y ，)6
5.0,0()155.0105.0,0(~2
22N N Y X =+-， )624.0()624.0(1}4.0{1}4.0{⋅-Φ+⋅Φ-=≤--=>-Y X P Y X P
05.0]975.01[2)]9596.1(1[2=-=Φ-=
九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。
在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：
999.17 993.05 1001.84 1005.36 989.8
1000.89 1003.74 1000.23 1001.26 1003.19
试求未知参数μ，2σ及σ的置信度为0.95的置信区间。
(262.2)9(025.0=t ,023.19)9(2025.0=χ,7.2)9(2975.0=χ)
解：（1）未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为：
[]
0.025(1)999.853 2.262999.853 3.4678x n ⎡
⎤⎡⎤-==±⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=[]996.3852,1003.321
（2）未知参数2σ的置信度为0.95的置信区间：
[]22220.025
0.975(1)(1)211.5268211.5268,,11.1195,78.343319.023 2.7n s n s χχ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（3）未知参数σ的置信度为0.95的置信区间：
[]3.3346,8.8512==。