e荷载偏心距 W基础底面抵抗矩
宽度与长度。 b、l宽度与长度。
基底压力分布可能情况： 基底压力分布可能情况：
梯形分布； a、当e< b/6 时，pmin>0，梯形分布； 三角形分布； b、当e= b/6 时，pmin=0，三角形分布； 边缘反力为负值，基底压力重新分布。 c、当e>b/6 时，pmin<0，边缘反力为负值，基底压力重新分布。
zy 2 1 2 R 2 Rz z 2 y 2 (2 R + z ) + 3 5 R 3 R3 ( R + z) R ( R + z)2
3F σy = 2π
剪应力： 剪应力：
3F xyz 1 2 xy (2 R + z ) R5 3 R3 ( R + z )2 2π 3Fyz 2 τ yz = τ zy = 2π R 5 3Fxz 2 τ zx = τ xz = 2π R 5
(1) 中心荷载作用
荷载作用在基础形心处时:
F p= A
式中：F竖直荷载； 竖直荷载； 式中： A 基 础 底 面 积 。
中心荷载作用
(2) 偏心荷载作用
按偏心受压公式计算： 按偏心受压公式计算：
pmax =
min
F M F 6e ± = 1 ± A W A b
式中：F、M中心竖直荷载及弯矩，M=Fe 中心竖直荷载及弯矩， 式中：
(3) 弹性理论假定 假定地基土为均匀的、各向同性的弹性体； 采用弹性力学的有关理论进行计算。
应力符号以压为正； 一般不考虑拉应力的影响； 有现成的简单的解析解。
上述假定是本章的基础
4.2 土体中自重应力计算
4.2.1 基本计算公式
假定土体为均质的半无限弹性体 取高度z，截面积 取高度 ，截面积A=1的土柱 的土柱 由平衡条件得
当采用极坐标表示M点的应力时：
3F 2π z 2 F σr = 2π z 2
σz =
cos5 θ (1 2 ) cos 2 θ 3sin 2 θ cos3 θ 1 + cos θ
F (1 2 ) 3 cos 2 θ σt = cos θ 1 + cos θ 2 2π z 3F τ rz = (sin θ cos 4 θ ) 2π z 2 τ tr = τ tz = 0
[解] 第一层土为细砂，地下水位以下考虑浮力作用 解 第一层土为细砂，
γ′=
(γ s γ w )γ (25.9 9.81) ×19 = = 10kN / m3 γ s (1 + w) 25.9 × (1 + 0.18)
第二层为粘土层， 第二层为粘土层，其液性指数
w wP 50 25 IL = = = 1.09 > 1 wL wP 48 25
第4章 土体中的应力计算 章
上海锦江饭店
4.1 概 述
4.1.1 土中应力计算的基本假定和方法
土中应力：自重 建筑物荷载 温度 土中水渗流 地震等。
本章只讨论： 本章只讨论： 自重应力； 自重应力； 静荷载； 静荷载；
土中应力可分为：自重应力 附加应力
基本假定分析： 基本假定分析： (1) 土的分散性影响及连续介质假定 基础底面的尺寸远大于土颗粒; 基础底面的尺寸远大于土颗粒; 工程实践中一般所关心只是平均应力。 工程实践中一般所关心只是平均应力。 (2) 土的非均质性和非线性影响 实际工程中土中应力水平相对较低； 实际工程中土中应力水平相对较低； 一定应力范围内，应力应变关系可看作是线性关系。 一定应力范围内 ， 应力应变关系可看作是线性关系 。
pz 3 3 dσ z = dxdy 2 2 2 5/ 2 2π ( x + y + z )
进行积分： 进行积分：
(a)
(b) 图4-9 偏心荷载时几种情况
(c)
假定重新分布后基底最大压应力为p′max，则：
′ pmax 2F = b 3 e l 2
方法： 方法：
由力的平衡
1 1 b ′ pmax l = F和力矩平衡 e + b′ = ′ b 3 2 2
pmin<0情形在工程上一般不允许出现，此时需进行设计调整。 情形在工程上一般不允许出现， 情形在工程上一般不允许出现 此时需进行设计调整。
（2）情况 ）情况2 刚度很大(即EI=∞),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构)。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布
半无限弹性体表面作用竖向集中荷载P，计算任一点M的应力。
图 4-12 直角坐标表示
讨论6个应力分量和3个位移分量： 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力： 法向应力：
3Fz 3 σz = 2π R 5
3F σx = 2π
zx 2 1 2 R 2 Rz z 2 x 2 (2 R + z ) + 3 5 R 3 R3 (R + z) R ( R + z)2
图4-3 成层土的自重应力分布
（2）有地下水存在 首先确定是否考虑浮力 考虑浮力影响时，用浮重度γ′代替重度γ。 原则: o砂性土应考虑浮力。 砂性土应考虑浮力。 砂性土应考虑浮力 o粘性土则视其物理状态而定: 粘性土则视其物理状态而定: 粘性土则视其物理状态而定
受水的浮力作用； 当IL/1时，受水的浮力作用； 不受浮力作用； 当IL<0时，不受浮力作用； 当0<IL<1时，根据具体情况而定。 根据具体情况而定。
一些讨论
的大小和位置有关,与 或与E 应力分布只与F 的大小和位置有关 与E和或与E无关 回答：从力的平衡角度分析。 回答：从力的平衡角度分析。 位移表达式与E有关，但一般不用它计算沉降； 位移表达式与 有关，但一般不用它计算沉降； 有关 计算公式在集中力作用点处不适用。 计算公式在集中力作用点处不适用。
τ xy = τ yx =
式中：x、y、zM点的坐标；E、弹性模量及泊松比。
轴方向的位移： X、Y、Z 轴方向的位移：
F (1 + ) xz x u= R 3 (1 2 ) R( R + z ) 2π E F (1 + ) yz y v= R 3 (1 2 ) R( R + z ) 2π E F (1 + ) z 2 1 w= R 3 + 2(1 ) R 2π E
4.3.3 基底附加应力的计算
概念：作用在基础底面的压力与该处原来的自重应力之差。 概念：作用在基础底面的压力与该处原来的自重应力之差。 计算公式： 计算公式：
p0=pσsz=pγ0d
γ 0—基底以上土的重度； d—基底埋深
基坑开挖
4.4集中荷载作用下土中应力计算
4.4.1竖向集中荷载作用 Boussinesq课题：
例题4-2 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度 z=3m处水平面上的竖向法向应力σz分布，以及距F作用点 r=1m处竖直面上的竖向法向应力σz分布。 [解] 列表计算见表4-2和4-3。
表4-2 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m) r/z α
σz(kPa) 0 0 0.478 10.6 1 0.33 0.369 8.2 2 0.67 0.189 4.2 3 1 0.084 1.9 4 1.33 0.038 0.8 5 1.67 0.017 0.4
(c) 钟形分布
图4-8 刚性基础
上述演化只是一典型的情形， 上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 大多数情况处于上述两种极端情况之间。 大多数情况处于上述两种极端情况之间。
4.3.2 基底压力的简化计算
基底压力分布十分复杂； 基底压力分布十分复杂； 但是，分布形状的影响只局限在一定深度范围内； 但是，分布形状的影响只局限在一定深度范围内； （圣维南原理） 圣维南原理） 实用上，假定基底压力分布为线性分布； 实用上，假定基底压力分布为线性分布；
?
对工程应用意义最大的是竖向法向应力， 对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成
3Fz 3 3F σz = = 5 2π R 2π z 2 1 [1 + ( r / z ) ]
2 5 2
F =α 2 z
式中：
3 α= 2π 1 [1 + (r / z ) ]
5 2 2
称为应力分布系数，是r/z的函数，可由表4-1查得。
故受水的浮力作用， 故受水的浮力作用，浮重度为
γ′=
(26.8 9.81) × 16.8 = 7.1kN / m3 26.8 × (1 + 0.50)
a点：z=0，σsz=γ z=0； 点 ， ； b点：z=2m，σsz=19×2=38kPa； 点 ， × ； c点：z=5m，σsz=19×2+10×3=68kPa； 点 ， × × ； d点：z=9m，σsz=19×2+10×3+7.1×4=96.4kPa 点 ， × × × 分布如图: 分布如图
表4-3 r=1m处竖直面上竖应力σz的计算
z(m)
0 1 2 3 4 5 6
r/z
∞
1
0.5
0.33
0.25
0.20
0.17
α
σz(kPa)
0
0.084
0.273
0.369
0.410
0.433 3.5
0.444
0
16.8
13.7
8.2
5.1
2.5
规律分析： 规律分ຫໍສະໝຸດ ：（1）集中力作用线上最大. 集中力作用线上最大. 图4-14 土中应力分布 的增加而逐渐减小。 （2）随着r的增加而逐渐减小。 （3）集中力作用点处为奇异点。 集中力作用点处为奇异点。 作用有多个集中力时， 可叠加。 （ 4 ） 作用有多个集中力时 ， 可叠加 。