试卷类型：A
湖北省武汉市2014高三下四月调考试题
数学（理）试卷 2014.4.17
本试卷共5页，共22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸无效。
3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数
143-++i
i a （a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=a A.7 B.-7 C.34 D.3
4- 2. 若一元二次不等式08322＜-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 A.(]0,3- B.[)0,3- C.[]0,3- D.)0,3(-
3. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的
体积是
A.1083
cm
B.1003cm
C.923cm
D.843cm
4. 已知命题R p ∈∃ϕ:，使)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题x x R x q sin 42cos ,:+∈∀
03＜-，则下列命题中为真命题的是
A.q p ∧
B.()q p ∨⌝
C.()q p ⌝∨
D.()()q p ⌝∨⌝
5. 已知O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24=PF ，
则△POF 的面积为
A.2
B.22
C.32
D.4
6. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若A,B,C 成等差数列，c b a 2,2,2成等比数
列，则=B A cos cos
A.0
B.61
C.21
D.3
2 7. 安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的
种数是
A.180
B.240
C.360
D.480
8. 设321,,a a a 均为正数，321λλλ＜＜，则函数3
32211)(λλλ-+-+-=
x a x a x a x f 的两个零点 分别位于区间
A.),(),(211λλλ⋃-∞内
B.),(),(3221λλλλ⋃内
C.),(),(332+∞⋃λλλ内
D.),(),(31+∞⋃-∞λλ内
9. 如图，在△ABC 中，∠C=90°,CA=CB=1,P 为△ABC 内一点，
过点P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三
角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为 A.
91 B.8
1 C.61 D.31 10. 设函数cx bx x x f 33)(2
3++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则 A.21)(101-
≤≤-x f B.0)(2
11≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(271≤≤x f 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模凌两可均不得分。
（一）必考题（11-14题）
11. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，
收集数据如下：
由表中数据，求得线性回归方程a x y +=65.0，根据回归方程，预测加工70个零件所
花费的时间为________分钟.
12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.
13. 在计算“1×2+2×3+...+n （n+1）”时，某同学学到了如下
一种方法：
先改写第k 项：k （k+1）=)]1()1()2)(1([31+--++k k k k k k
由此得1×2-)210321(31⨯⨯-⨯⨯.
)321432(3
132⨯⨯-⨯⨯=⨯. ............. )]1()1()2)(1([31
)1(+--++=+n n n n n n n n .
相加，得1×2+2×3+...+n （n+1）)2)(1(3
1++=n n . 类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+)3)(2)(1(+++n n n n ”，其结果
是_________________.（结果写出关于n 的一次因式的积的形式）
14. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线
）＜20(≤=t t x 左侧的图形的面积为)(t f ，则
（I ）函数)(t f 的解析式为_______；
（II ）函数)(t f y =的图像与直线t t 、2=轴围成的图形面积为______.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，在△ABC 中，∠C=90°,∠A=60°,过C 作△ABC 的外接圆
的切线CD,BD ⊥CD 于D.BD 与外接圆交于点E,已知DE=5，则△
ABC 的外接圆的半径为______.
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.已知直线21)3sin(=+πθp 与曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 1
)1(21（t 为参数）相交于A,B 两 点，若M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知向量)sin cos ,sin (cos x x x x a +-=，)sin ,(cos x x b -=，)1,2(=c ,其中[]π,0∈x . （I ）若c b a //)43(+,求x ；
（II ）设函数)(x f 是a 在b 方向上的投影,在给出的直角坐标系中，画出)(x f y =在[]π,0 的图像.
错误！未指定书签。
18.（本小题满分12分）
在等比数列{}n a 中，其前n 项和为n S ,已知233=
a ,293=S . （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）是否存在正整数n ，使得32
32=
-+n n S S ？，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，∠ABC =60°,PA=AC=1，PB=PD=2, 点E 在PD 上，且PE=2ED.
（I ）求二面角P-AC-E 的大小；
（II ）试在棱PC 上确定一点F,使得BF //平面AEC .
20.（本小题12分）
一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑 球的概率为52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率为9
7. （I ）若袋中共有10个球；
（i ）求白球的个数；
（ii ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ,求ξ的数学期望)(ξE . （II ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
10
7.
21.（本小题满分13分） 如图，A,B 是椭圆ℑ：14
22
=+y x 的左、右顶点，M 是椭圆ℑ上位于x 轴上方的动点， 直线BM M ,与直线4:=x l 分别交于D C ,两点.
（I ）若4=CD ,求点M 的左边；
（II ）记△MAB 和△MCD 的面积分别为1S 和2S .是否存在实数λ，使得21S S λ=？若存 在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分14分）
已知函数x x x f -+=)1ln()(.
（I ）求)(x f 的最大值；
（II ）设)0()()(2
≥-=a ax x f x g ，l 是曲线)(x g y =的一条切线,证明：曲线)(x g y = 上的任意一点都不可能在直线l 的上方； （III ）求证：e n n n
＜])
12)(12(21)....[9581)(5341)(3221(1+++⨯+⨯+⨯++（其中e 为自然
对数的底数，*∈N n ）.。