单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )A．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”B．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”C．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”D．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面”答案 C解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1．故选C．2．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200．为做好小学放学后“快乐30分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( )A ．120B ．40C ．30D ．20 答案 B解析 ∵一年级学生共400人，∴抽取一个容量为200的样本，用分层抽样的方法抽取的一年级学生人数为4002000×200＝40．选B ．3．(2018·合肥质检一)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )A ．114B ．112C ．17D ．16 答案 D解析 我们研究在一个小时内的概率即可，不妨研究在一点至两点之间听到新闻的时间段．由题可知能听到新闻的时间段为1点到1点5分，以及1点30分到1点35分，总计10分钟的时间可以听到新闻，故能听到新闻的概率为1060＝16．故选D ．4．(2018·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30 答案 A解析 根据2×2列联表与独立性检验可知， 当a a ＋10与c c ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，aa ＋10与cc ＋30相差越大．故选A ．5．(2018·河南安阳二模)已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2．5<n <m <6．5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ^＝0．8x ＋2．3B ．y ^＝2x ＋0．4C ．y ^＝－1．5x ＋8D ．y ^＝－1．6x ＋10 答案 D解析 由2．5<n <m <6．5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知x －＝3．5，y －＝14×(6．5＋m ＋n ＋2．5)∈(3．5，5．5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D ．6．(2018·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B ．π12C ．π4D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4．故选A ．7．(2018·佛山质检)已知袋中有5个球，其中红球3个，标号分别为1，2，3；蓝球2个，标号分别为1，2．从袋中任取2个球，则这2个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为( )A ．310B ．25C ．35D ．710 答案 A解析 从这5个球中取出2个，有如下情况：(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，共10种，其中2个球颜色不同且标号之和不小于4的有(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，共3种，所以所求概率为310，故选A ．8．(2018·衡阳三模)若在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A ．1112－3π6B ．1－3π6C ．13D ．14 答案 B解析 如图，正三角形ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，以a2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×a 2234a 2＝1－3π6．故选B ． 9．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )A ．1－56105B ．1－56610C ．1－1－16510D ．1－1－16105答案 D解析 一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于1610，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－1610．事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－1－16105．故选D ．10．(2018·广东广州海珠区综合测试)下列说法中正确的是( )①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )；③回归模型中残差是实际值y i 与估计值y ^的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好． A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 答案 D解析 ①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，则相关性越强，错误；②回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )，正确；③由残差的定义和残差图的绘制可知正确；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越不好，错误．所以正确的有②③．故选D ．11．(2018·南昌摸底)甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A ．13B ．310C ．25D ．34 答案 C解析 用枚举法列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(3，2，4)，(3，3，3)，(3，4，2)，(4，2，3)，(4，3，2)，(5，2，2)，共有10种可能性．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2，4，3)，(2，5，2)，(3，3，3)，(3，4，2)，共计4种，故所求概率为410＝25．故选C ．12．(2018·郑州质检)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为( )A ．49B ．2C ．94 D ．9 答案 C解析 甲班学生成绩的中位数为80＋x ＝81，得x ＝1．由茎叶图可知，乙班学生的总分为76＋80＋82＋(80＋y )＋91＋93＋96＝598＋y ＝7×86，所以y ＝4．若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则a ＋b ＝2G ，xy ＝G 2，所以a ＋b ＝4，所以1a ＋4b＝14(a ＋b )1a ＋4b ＝145＋b a ＋4a b ≥145＋2b a ·4a b ＝14×9＝94，当且仅当b ＝2a ＝83时，1a ＋4b取得最小值．故选C ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·广东华南师大附中测试)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为________．答案 36解析 由题意得阴影部分的面积约为6001000×60＝36．14．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析 该题为长度型几何概型，所以概率P ＝17－1318－13＝45．15．(2018·青岛质检)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为________万元．答案 85解析 x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋50＋60＋705＝50，又因为回归直线过样本中心点，所以a ^＝y －b ^x ＝50－7×5＝15．所以回归方程为y ＝7x ＋15，当x ＝10时，y ＝85，所以当投入10万元广告费时，销售额为85万元．16．(2018·乌鲁木齐一诊)A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为________．答案5 6解析A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，基本事件数共24种，如下图所示．A，B都不在边上共4种，所以A或B在边上的概率为P＝1－424＝56．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(2018·广东华南师大附中综合测试三)(本小题满分10分)《汉字听写大会》不断创收视率新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164)，第二组[164，168)，……，第六组[180，184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．解(1)被采访人恰好在第1组或第4组的频率为(0．05＋0．02)×4＝0．28，∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0．28．(2)第5，6两组[176，184)的人数为(0．02＋0．01)×4×50＝6，∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民有3名，记第5，6两组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，共有15个基本事件，列举如下：AB，AC，Ax，Ay，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，至少有1名女性的事件有Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，共12个，∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，至少有1名女性市民的概率为1215＝45．18．(2018·济南模拟)(本小题满分12分)2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表设备改造后的样本的频数分布表(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；(2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解 (1)根据题图和题表得到2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝400×(172×8－28×192)2200×200×364×36≈12．210，∵12．210>6．635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关． (2)根据题图和题表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为192200＝96100，设备改造前产品为合格品的概率约为172200＝86100，即设备改造后合格率更高，因此设备改造后性能更好．(3)用频率估计概率，1000件产品中大约有合格品192200×1000＝960件，不合格品1000－960＝40件，180×960－100×40＝168800元，故该企业大约能获利168800元．19．(2018·江西摸底)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：一次购物款(单位：元)[0，50)[50，100)[100，150)[150，200) 返利百分比06% 8% 10%请估计该商场日均让利多少元？解(1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋10＋30＝100×60%，解得n＝20，∴m＝100－80＝20．故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×60100＝3000(件)．(2)设一次购物款为a元，当a∈[50，100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a∈[100，150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，当a∈[150，200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．∴估计该商场日均让利为52000元．20．(2018·广东三校联考)(本小题满分12分)在某城市气象部门的数据中，随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表：(1)该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y 与当天的空气质量t (t 取整数)存在如下关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤100，2t －100，100＜t ≤300，且当t >300时，y >500，试用频率估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；(2)若在(1)中，当t >300时，y 与t 的关系拟合于曲线y ^＝a ^＋b ^ln t ，现已取出了10对样本数据(t i ，y i )(i ＝1，2，3，…，10)，且∑10i ＝1ln t i ＝70，∑10i ＝1y i ＝6000，∑10i ＝1(y i ln t i )＝42500，∑10i ＝1(ln t i )2＝500，求拟合曲线方程． 附：线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －－b ^x ．解 (1)令y >200得2t －100>200，解得t >150， ∴当t >150时，病人人数超过200人．由频数分布表可知100天内空气质量指数t >150的天数为25＋15＋10＝50． ∴估计病人人数超过200人的概率为P ＝50100＝12．(2)令x ＝ln t ，则y ^与x 线性相关，x ＝∑10i ＝1ln t i 10＝7，y ＝∑10i ＝1y i10＝600，∴b ^＝42500－10×7×600500－10×49＝50，a ^＝600－50×7＝250，∴拟合曲线方程为y ^＝50x ＋250＝50ln t ＋250．21．(2018·江西重点盟校联考一)(本小题满分12分)微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷．作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段．某公司为了解人们对“微信支付”的认可度，对[15，45]年龄段的人群随机抽取n 人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾，求所选派的2人没有第四组人的概率．解(1)补全频率分布直方图，如图所示．由统计表中第四组数据可知，第四组总人数为600.4＝150，再结合频率分布直方图，可知n ＝1500.03×5＝1000，所以a ＝0．04×5×1000×0．5＝100．因为第二组的频率为0．3，所以p ＝195300＝0．65．(2)因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别抽取的人数为4人、2人、1人．(3)设抽取的第四组的4人为A 1，A 2，A 3，A 4，第五组的2人为B 1，B 2，第六组的1人为C 1，则从7人中随机抽取2人的所有可能的结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2，A 3C 1，A 4B 1，A 4B 2，A 4C 1，B 1B 2，B 1C 1，B 2C 1，共21种，其中恰好没有第四组人的所有可能结果为B 1B 2，B 1C 1，B 2C 1，共3种， 所以所选派的2人没有第四组人的概率为P ＝321＝17．22．(2018·安徽合肥模拟)(本小题满分12分)某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正常工作时，超过的生产线每条纯利润为800元，原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数； (2)为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数x ＝14，标准差s ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率)：①P (x －s <X <x ＋s )≥0．6826； ②P (x －2s <X <x ＋2s )≥0．9544； ③P (x －3s <X <x ＋3s )≥0．9974．评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线．试判断该生产线是否需要检修．解 (1)由题意知，当x ≤5时，y ＝1100x －100×(10－x )＝1200x －1000；当5<x ≤10时，y ＝1100×5＋800×(x －5)－100×(10－x )＝900x ＋500；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1200x －1000(x ≤5且x ∈N ＋)，900x ＋500(5<x ≤10且x ∈N ＋)，当y ＝7700时，900x ＋500＝7700，x ＝8，即8条生产线正常工作． (2)x ＝14，s ＝2，由频率分布直方图得，P (12<X <16)＝(0．29＋0．11)×2＝0．8>0．6826， P (10<X <18)＝0．8＋(0．04＋0．03)×2＝0．94<0．9544， P (8<X <20)＝0．94＋(0．015＋0．005)×2＝0．98<0．9974，∵不满足至少两个不等式，∴该生产线需要检修．。