1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论；
2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝____.
2．余弦定理的推论
cos A ＝________________；cos B ＝______________；cos C ＝________________.
3．在△ABC 中：
(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝________；
(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝________；
(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝________.
一、选择题
1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )
A . 3
B ．3
C . 5
D ．5
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6
C .π4
D .π12 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )
A ．1
B . 2
C ．2
D ．4
4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )
A .14
B .34
C .24
D .23
5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
6．在△ABC 中，已知面积S ＝14
(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°
二、填空题
7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.
8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.
9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a>0，b>0)，则最大角为________．
10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3
，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋
B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
能力提升
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．2 余弦定理(一)
答案
知识梳理
1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab
3.(1)90° (2)60° (3)135° 作业设计
1．A
2．B [∵a>b>c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)2
2×7×43＝32
. ∴C ＝π6
.] 3．C [b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2
2a
＝a ＝2.] 4．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34
.] 5．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc
⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．]
6．B [∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12
ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.
由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .]
7．120°
8．30°
解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12
∴c ＝2 3.
由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12
. ∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°.
9．120°
解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，
则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12
， ∴θ＝120°.
10．－2 3
解析 S △ABC ＝12
ac sin B ＝3，∴c ＝4. 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.
11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦。