概率论第二章习题1 考虑为期一年的一保险单，若投保人在投保一年意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。

若投保人在一年因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。

解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。

在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。

解 （1）在袋中同时取3个球，最大的是3,4，5。

每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。

因而其概率为 22335511{3}10C P X C C ==== 若最大为4，则为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533{4}10C P X C C ==== 若最大为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为 25335566{5}10C P X C C ==== 一般地 3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X==；最小点数为3的共有7种，7 {3}36P X==；最小点数为4的共有5种，5 {4}36 P X==；最小点数为5的共有3种，3 {5}36P X==；最小点数为6的共有1种，1 {6}36 P X==3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，（1）求X的分布律；（2）画出分布律的图形。

解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。

在不放回的情形下，从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：315151413P=⨯⨯，其概率为若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为313131211P=⨯⨯其概率为13121122 {0}15141335 p X⨯⨯===⨯⨯若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为112 3213321312C C P=⨯⨯⨯其概率为 32131212{1}15141335p X ⨯⨯⨯===⨯⨯ 若取到的次品数为2，，其概率为 22121{2}1{0}{1}1353535p X p X p X ==-=-==--=。

于是其分布律为（24 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为1q p=-（01p <<），（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需要的试验次数，求X 的分布律。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

）。

（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需要的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r ，p 为参数的巴斯卡分布或负二项分布。

）解 （1）X 的取值为1,2,,,n ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为(2)Y 的取值为,1,,,r r n +，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。

假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。

以Y 表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求Y 的分布律。

（3）求试飞次数X 小于Y 的概率；求试飞次数Y 小于X 的概率。

解 （1）X 服从1=p 的几何分布，其分布律为(2)Y 所有可能的取值为1,2，3.方法一 31}1{==Y p 312132}2{=⋅==Y p 3112132}3{=⋅⋅==Y p 方法二 由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即31}3{}2{}1{======Y p Y p Y p 即Y(3) }3,2{}3,1{}2,1{}{==+==+===<Y X p Y X p Y X p Y X p319231313131⋅+⋅+⋅= 278= }{}3,2{}3,1{}2,1{}{4∑∞==+==+==+===<i i X p X Y p X Y p X Y p X Y p31)32(31)32(3131)32(319231422⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=∑∞=i i 8138= 6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解 设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且各次试验相互独立，于是)1.0,5(~B X（1）恰有2个设力被使用，即{2}X =：0729.0)1.01(1.0}2{3225=-⋅⋅==C X p（2）至少有3个设备被使用，即{3}X ≥：}5{}4{}3{}3{=+=+==≥X p X p X p X p55544523351.09.01.09.01.0⋅+⋅⋅+⋅⋅=C C C 00856.0=（3）至多有3个设备被使用，即{3}X ≤：}5{}4{1}3{=-=-=≤X p X p X p 5554451.0)1.01(1.01C C --⋅⋅-= 99954.0=（4）至少有一个设备被使用，即{1}X ≤{1}1{0}p X p X ≥=-=5005)1.01(1.01-⋅-=C 40951.0= 7 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.3，A 发生不少于3次时指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

解 设A 发生的次数为X ，则(,0.3)X B n ，5,7n =，设B “指示灯发出信号”（1） 5553(){3}(0.3)(0.7)k k k k P B P X C-==≥=∑33244550555(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)C C C =++100.2704950.00810.70.00243016308=⨯⨯+⨯⨯+=或 2514223220()1{}1(0.7)0.3(0.7)(0.3)(0.7)0.163k P B P X k C C ==-==--⨯-=∑同理可得 （2）7753(){3}(0.3)(0.7)0353k k k k P B P X C-==≥==∑或 2716225770()1{}1(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)0.353k P B P X k C C ==-==---=∑8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。

解 记甲投中的次数为X ，乙投中的次数为Y ，则)6.0,3(~B X ，)7.0,3(~B Y ，00333{0}(0.6)(0.4)(0.4)0.064p X C ====288.0)4.0)(6.0(}1{213===C X p432.0)4.0()6.0(}2{223===C X p33033{3}(0.6)(0.4)(0.6)0.216p X C ====同理，027.0)3.0(}0{3===Y p189.0)3.0)(7.0(}1{213===C Y p441.0)3.0()7.0(}2{223===C Y p 343.0)7.0(}3{3===Y p若记A 为事件“两人投中次数相等”，B 为事件“甲比乙投中的次数多”，则}{}{},{)(3030i Y p i X p i Y i X p A p i i ======∑∑==32076.0=0.0640.0270.2880.1890.4320.4410.2160.343=⨯+⨯+⨯+⨯0.0017280.0544320.1905120.074088=+++32076.0=又 {1,0}{1}{0}0.2880.0270.007776P X Y P X P Y ======⨯={2,0}{2}{0}0.4320.0270.011664P X Y P X P Y ======⨯={3,0}{3}{0}0.2160.0270.005832P X Y P X P Y ======⨯={2,1}{2}{1}0.4320.1890.081648P X Y P X P Y ======⨯={3,1}{3}{1}0.2160.1890.040824P X Y P X P Y ======⨯={3,2}{3}{2}0.2160.4410.095256P X Y P X P Y ======⨯=所以 }{)(Y X p B p >=}0,3{}0,2{}0,1{==+==+===Y X p Y X p Y X p{2,1}{3,1}p X Y p X Y +==+=={3,2}p X Y +==0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256=+++++0.243=9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品，接受这批产品，次品大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。

若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率。

（2）需作第二次检验的概率。

（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。

（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。

（5）这批产品被接受的概率解 设X 为“第一次检验出的次品数”，Y 为“第二次检验出的次品数”，则)1.0,10(~B X ，)1.0,5(~B Y（1）这批产品第一次检验后接收，即没有发现次品，也就是X ＝0，而349.0)9.0()9.0()1.0(}0{1090010≈===C X p（2）需作第二次检验，即第一次检验发现次品数为1或2件：{12}X ≤≤}2{}1{}21{=+==≤≤X p X p X p210192*********(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)i i i i CC C -===+∑581.0≈（3）这批产品按第二次检验的标准接收，即在第二次取出的5件产品中没有次品：{0}Y =59005)9.0()9.0()1.0(}0{===C Y p 590.0≈（4） 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过，即：{0,12}Y X =≤≤}21,0{≤≤=X Y p }21{}0{≤≤⋅==X p Y p （两事件相互独立）581.0590.0⨯=343.0≈（5）})21,0{}0({≤≤=⋃=X Y X p343.0349.0+=692.0=.10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。