第二章
矩阵及其 运算
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第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
A
A12
A1t
分块矩阵A的转置:
As1 As2 Ast
➢ 分块矩阵转置分两次进行:按一般元素矩阵
转置后，每个子块矩阵再转置.
AT
A1T1 A1T2
AsT1 AsT2
A1Tt
AsTt
8
1 0 0 0
1 0 1 0
例1
AB
0
1
1
10 21 10
0 1 2 0 1 0 1 1 1
0 4 2
1
1
0
E
A1
O B11
E
B21
E
B22
EB11 OB21
A1B11
EB21
EE OB22 A1E EB22
B11 A1B11
B21
E
A1
B22
而
1 2 1 0 1
A1B11 B21
a1i
,
n
i
a2i
,
i 1, 2,
,n
ami
4
例如：
A
a11 a21
a12
a22
1
2
1T
T 2
5
二、分块矩阵的运算
1.分块矩阵的加法与数乘
设矩阵A与B是同型矩阵,且分块方法也相同:
A11 A1t
A
,
As1 Ast
B11 B1t
B
Bs1 Bst
分块矩阵加法: 数乘分块矩阵:
A11 B11 A1t B1t
A
B
As1 Bs1 Ast Bst
kA11 kA1t
kA
kAs1 kAst
注:矩阵A与B有相 同的分块法
6
2.分块矩阵的乘法
设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分
别分块如下:
对A的列的分法与对
A11 A1t
2)将矩阵A每一元素视为一个子块的分块矩阵;
A ( Aij )mn; Aij aij
3)将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:
A
1T 1T
iT
行的记法可看作是列的转置
(ai1,ai2, ,ain ), i 1, 2, , m
4)将矩1T阵 A每一列视为子块的分块矩阵,记为:
A 1, 2
A1m
①
Am
A2m
Asm
② A A1 A2 As
12
③ 当A1,A2,…,AS都是方阵,且 Ai 0 (i 1,2,,s)时,A可逆
A1
A1
A2
1
A11
A21
As
As1
类似地有：
A1 1
A2
A1 s1
As1
As
A11
说明2）：做个笔记
x2
x
xn
b1
b2
b
bm
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22x2a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amnxn bm
可表为: Ax b
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Ax b 可表为:
或A按行分块
Ax
b
β1T β2T
x
b1
b2
βmT
bn
设矩阵
A
0
1 0 0
1 2 1 0
B 1 2 0 1 1 0 4 1
1
1 0 1
1 1 2 0
1 0 0 0
若矩阵A分块为:
A
0
1
1 2
0 1
0 0
1
1 0 1
问矩阵B如何分块,才能与A右乘? 并用其中的一种分
块矩阵求AB？
解: 矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:
9
1 0 1 0
T i
x
bi
(i 1, 2,
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
满足条件的B的分法 共有八种.
10
1 0 1 0
取B分块如下
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 0 0 1 0 1 0
1
1 1
2
1
0 2 4 1 1 1
1 24 1 3 3
A1 B22
1
1 2
0 3 1
1 0 AB 1 2
2 4 1 1
1 0
0
1
3 3
3
1
11
说明1) : 关于准对角矩阵的结论:
A1
称矩阵 diag ( A1
,
A2
, As
)
A
A2
为准对角矩阵
As
当Ai(i=1,2, …，s）都是方阵时，
A1
A11 O
O A21
2 0 0
5 0 0
0
0
1 3 2 3
1 3
1
3
(2) A A1 A2
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说明3) : 分块矩阵的简单应用：
简化线性方程组的记号 设矩阵:
则方程组
a11 a12 a1n
A
.
a21
a22
a2n
;
am1
am2
amn
x1
A
,
As1 Ast
B11 B1r
B
Bt1 Btr
B的行的分法 完全一致!!!
矩阵A与B的乘积AB:
A11 A1t B11 B1r C11 C1r
As1 Ast Bt1 Btr t
Cs1 Csr
Cij Aik Bkj , i 1,2,, s; j 1,2,, r.
A C O B A B
特别的：
A O
O B
A
B
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例2 设
5 2 0 0
A
2
1
0
0
,
0 0 1 2
0
0
1
1
求 A1和 A
5 2 0 0
解
(1) A
2
0
0
1 0 0
0 1 1
0
2
1
A1 O
O
A2
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1
3
1 1
2
1
,
1 2 0 0