常见的数列求和及应用
常见的数列求和及应用
一、自主探究
1、等差数列的前n项和公式：。

2、等比数列的前n项和公式：
①当时，；
②当时， = 。

3、常见求和公式有：
①1+2+3+4+…+②1+3+5+…+（2n-1）=
※③※④
二、典例剖析
（一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。

例1 已知，求数列｛｝的前n项和。

变式练习：已知，求数列｛｝的前n项和。

（二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法。

特别地，当数列形如，其中是等差数列，可采用此法
例2 求和：（）
变式练习：已知数列的通项公式，求数列｛｝的前n
项和。

（三）、奇偶并项法：当数列通项中出现时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。

例3 求和：
（四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。

例4 求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。

变式练习：已知且 .求
（五）错位相减法：一般地，如果数列时等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用此法，在等式的两边乘以或，再错一位相减。

例5 求和：
变式练习：求和：
三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。

任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。

数列的求和主要有以下几种方法。

⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：① = ；
② = ；
③ = ；
④ = ；
⑷奇偶并项法；⑸倒序相加法；⑹错位相减法。

四、课堂检测：
1、已知数列的通项，由所确定的数列的前项之和是（）
A. B. C. D.
2、已知数列为等比数列，前三项为则等于（）
A. B. C. D、设数列，（1+2+4），…，（）的前m项和为2036，则m的值为（）
A.8
B.9
C.10 D、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（）
A.5880 B280 D.4872
5、
6、若 ,则、设正项等比数列的首项，前n项和为，且
①求的通项；
②求的前n项和
8、数列中，且满足 ,
①求数列的通项公式；
②设是否存在最大的整数m，使得任意的n均有＞总成立。