c.
圆锥曲线同步测试一双曲线
一、选择题
1. "是第三象限角，方程x 2+y 2sin ^=cos 0表示的曲线是
（
）
A.焦点在x 轴上的椭圆
B.焦点在y 轴上的椭圆
C.焦点在x 轴上的双曲线
D.焦点在y 轴上的双曲线
2. “abvO”是“方程 我+叩2 =c 表示双曲线”的 （
）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
3. 一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x2+y2・8x+12二0都外切，则动圆心的轨迹为（ ）
4.
过点P （2, -2）且与y-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是
（ ）
6.
双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为斤、F2, ZF I MF 2=120° ,则双曲线的离心率为（
）
V6
V
7.
设双曲线芝一21 = 1 （0<a<b ）的半焦距为c,直线［过（a, 0） , （0, b ）两点，已知原点
到直线］ a~ b~
的距离为罕C,则双曲线的离心率为
（
）
4 A. 2
B. VI
J 近
D.—
3
&到两定点林（-3,0）、厲（3,0）的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （） A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线
2 2
2
2
9. 若Q<k<a f 双曲线= 1与双曲线二■-其"有（）
a~ -k b" +k
a' b~
A.抛物线
B.圆
C.双曲线的一支
D.椭圆
5. B.
D.
过双曲线B 才1的右焦点F 作直线（交双曲线于A 、B 两点,
若|AB|=4,这样的直线有（
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
V6
A.
2 4 2
3
A.相同的虚轴
B.相同的实轴
C.相同的渐近线
D.相同的焦点
•> ">
10.过双曲线—-^ = 1左焦点R的弦AB长为6,则AABF, （F?为右焦点）的周长是（）
16 9 -
A. 28
B. 22 C・ 14 D. 12
11.己知双曲线方程为，-召=1，过P（l,0）的直线/与双曲线只有一个公共点，贝IJ/的条数共有（）
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
12.己知双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为2笛，且两条渐近线的夹角为60°,则双曲线方程为（）
x2 y2 .x2 y2 .-X2 V2 , x2 ._^x2 y2 .
.x2
D
A. --- y~ =1
B.---------- — = 1
C.--- 」=1 或---- —=1
D. ---- = l 或 ---- —=1
3 ' 3 9 12 36 12
4 3 3 9
二、填空题
13.设圆过双曲线乂-兰=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离
9 16
是__________ .
14.己知点A （5, 3） , F （2, 0），点P在双曲线宀# = 1上，贝iJ|PA| + ||PF|W最小值为_____ .
15.己知坊,竹是双曲线的两个焦点，PQ是过点片且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，ZPF2Q = 90\
则双曲线的离心率为___________ •
2 2
16.双曲线—+ ^- = 1,离心率*（1,2）,则£的取值范围是 ________________ .
4 k
三、解答题
17.己知双曲线与椭圆- + ^ = 1共焦点，且以）匸士纟无为渐近线，求双曲线方程.
49 24 3
18.一炮弹在A处的东偏北60「的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，己知A在B
的正东方、相距6千米，P为爆炸地点（该信号的传播速度为每秒1千米），求A、P两地的距离.
C.
19.如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|,
= ,双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.求
C.
双曲线的离心率.
20. 己知不论m 取何实数，直线尸kx+m 与双曲线妒-2才=1总有公共点，试求实数k 的取值范围.
2 2
21.
设双曲线G 的方程为二—其= l(d 〉0,b>0), A 、B 为其左、右两 a~ b~
个顶点，P 是双曲线G 上的任意一点，引QB 丄PB, QA 丄PA, AQ 与 BQ 交于点Q.
(1) 求Q 点的轨迹方程；
(2) 设(1)中所求轨迹为C2, G 、C 2
的离心率分别为臼、e 2,当e x >V2时，勺的取值范围.
圆锥曲线同步测试一双曲线（答案）一.选择题
二•填空题
三、解答题
17.［解析n由椭圆护看2"
设双曲线方程为4-4=^
a~ b・
b 4
—=± —
则* _3
\a2+b2=25
J宀9
\b2=16
13- T 14. £ 15. ^2 + 1 16. (—12, 0)
C.
故所求双曲线方程为，討
18.［解析］:以直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则4(3, 0).8(-
3, 0)
PB |- | PA |= 4 x 1 < 6 :.a = 2,b = y[5,c =
3
2 2
P是双曲线——^^ = 1右支上的一点
4 5
TP在人的东偏北60°方向，・••忍p = tan60°=JJ .
・・・线段AP所在的直线方程为)=V3(x-3)
解方程组4 5
y = >/3(x-3) x >0
y > 0
即P点的坐标为(8, 5羽)
・•・△、P 两地的距离为\AP\ = ^(3-8)2 + (0-573)2=10 (千
米).
19.［解析］:如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系, 则CD丄Oy.
由题意可设 A (-c, 0) , B (c, 0) , C (才，h) , ^(x E,y E)
h是梯形的高.
・•・ AE = (x E -c,y E), EC = (--x E,h-y E)
=^>
< % =-(h-y E)5x F = —c
6
1 ,
设双曲线的方程为= 由点C、E在双曲线上，得
/ b2
5 VF= ' 由①得佯丄—1,代入②得4 = -»所以离心率e = K = —
bz_l.£=1②八" a' 3% 3［36 a2 9 b2•
c.
A = (4加?)2 -4(2/ -1)(2加2 +1) = 4(2龙+l-2k2)>0
A 2k2 <2^72+1 对所有实数m 都成立，2/r2 <(2w2+l)mm = l
故2k2 <l f但工1
21.［解析］:(1)设P(x o,yo), Q(x ,y )
•・• A(-a, 0), B(a, 0), QB丄PE, QA丄PA
由于不论m取何实数，直线y=kx+m与双曲线x2-2y2=l总有公共点，故不符合题意. 当2T -1工0,即k工土半时，依题意有
c.
丄 ----- =-1 (2)
x 0-a x-a
y 2
2
由⑴X ⑵得:十―-A-r = 1……⑶ ⑵解：由⑴得C,的方程为二-丄
a~ a
b
'：e. > y[2, :.e} <1 + — ------- = 2,
/.l<e, < V2
-（V2）2-l -
x 0+a x + a
x 2 y 2
y 2 决
• —L _ __L = 1 • • o = £_
• ~~2 7T~
?
7
a b x -a~ a~
代入⑶得b 2y 2 = x 2a 2 -a 4^a 2x 2 -b 2y 2 = a 4
经检验点（-。
,0）,@,0）不合题意，因此Q 点的轨迹方程为:Mx2—b2y2=a4（^±a ）.。