考点12 函数模型及其应用1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】D【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D.2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg3≈0.48)( ) A.12 B ．13C ．16D ．110【答案】C【解析】∵[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，∵7.35<－lg [H ＋]<7.45， ∴10－7.45<[H ＋]<10－7.35，∴10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<13<12，∴110<[H ＋][OH －]<13.故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时【答案】C【解析】由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24(小时)． 5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2 x (a >0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( ) A. 5 B ．5 C ． 2 D ．2【答案】A【解析】设投入x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a2·20－x .令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a m i n ＝ 5.故选A.6、某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：三月份35 m 3 19元若四月份该家庭使用了20 m 3A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 【答案】A【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ），因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 【答案】3.75【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75时，可食用率p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元． 【答案】190 元【解析】设售价提高x 元，则依题意y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500. 故当x ＝90时，y m a x ＝60 500，此时售价为每件190元．10、现有含盐7%的食盐水200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________． 【答案】(100,400)【解析】设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x ，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400.11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9【解析】由已知可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，2.15x －2.55，3＜x ≤8，2.85x －3.05，x >8.由y ＝22.6解得x ＝9.12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时． 【答案】10【解析】由题设可得(1－0.1)P 0＝P 0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k ＝ln 0.9；又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e－kt，故－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，故t ＝10，应填10.14、渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________． 【答案】km4【解析】由题意，空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm ，定义域为(0，m )， y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4， ∵x ∈(0，m )，k ＞0，∴当x ＝m 2时，y m a x ＝km 4.15、拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 【答案】4.24【解析】∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】1909【解析】 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(1) ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2) 270【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2， 所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．【答案】(1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2) 7916【解析】(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．19、已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg (n A)来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜P A＜5.5.其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)【答案】③【解析】当n A＝1时P A＝0，故①错误；若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；设B菌的个数为n B＝5×104，∴n A＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg(n A)＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A＜5.5，故③正确．20、某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．【答案】4【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．21、某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．【答案】(1) f(x)＝x(x－q)2＋p(2) f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5) 9月、10月两个月【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p . (2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1， 又q ＞1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)． ②因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)， 所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．22、我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS 元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS 元(k 为正常数)．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?【答案】选取|AM |为12米或18米时总造价T 最低．【解析】(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )， ∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝ 3x (30－x )，x ∈[10,20]， ∴2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又∵△ABC 的面积为4503，∴草坪造价T 2＝12kS (4503－S )．∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.23、某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】(1) 5 000元 (2) 400吨【解析】(1)当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S <0，因此，该项目不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144，12x －200＋80 000x，x ∈[144，500.当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x≥2x 2·80 000x－200＝400－200＝200， 当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。