《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。

1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。

实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。

例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。

4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。

5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。

二课程内容及学时分配本课程总学时为72学时，其中讲课约54学时，习题课约18学时，在执行时可以适当调整，由于习题课教师既可以单独讲，也可以穿插在正课本中讲故下面各章节所分配的学时中同时包括正课与习题课的学时，不在分开。

本大纲中有“*”号的项目，在教学中可酌情处理，书中例题材教师也可酌情增删第1章 集与点集（12学时）本章介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时也介绍实变函树论必需的直线上的点集的概念和知识。

2 教学目的及要求掌握集与元素的概念以及集的运算，集的对等，势的概念，理解可列集不可列集的概念。

掌握直线上的开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包，完备集等概念，理解开集的构造定理及Cantor 三分集的完备性，稀疏性。

理解Bernstein定理，了解序集概念以及Zorn引理，Zermelo选择公理。

3 教学重点集的对等，开集的构造定理以及由一个集的所有子集构成的集的势。

4 教学难点Cantor三分集具有完备性，稀疏性。

5 各章节教学时间安排及进度安排1 集的运算，集与元素的概念，集的闭包与相等，集的表示，集的运算。

（2课时）2 映射，集的对等，可列集映射，对等，有限集与无限集，可列集与不可列集。

（2学时）3一维开集，闭集及性质领域及开集，聚点和孤立点，导集，完全集，闭集。

（2学时）4开集的构造开集的构造区间，开集的构造定理，Cantor三分集，稠密集与稀疏集，n维欧氏空间概述。

（3学时）5集的势，序集势的定义，势的比较，连续集的势，可列集的势，由一个集的一切子集所构成的集的势，Bernstein-定理及应用，Zorn引理*Zermelo选择公理。

（2学时）6 主要教学环节的组织在最后1学时进行有关部门问题讨论以及习题讨论。

第二章程勒贝格测度（16学时）1 教学内容本章主要介绍直线上的Lebesgue测度，同时也介绍了一般的测度理论。

2教学目的及要求掌握直线上的开集与闭集的测度以及直线上有界集`的内外测度以及Lebesgue测度以及可测集的概念，理解可测集对可列并，及余的封闭性，理解Lebesgue测度的完全可加性以及可测集的Caratheodory条件，了解多维空间中的测度，不可测集的例，理解环与环上定义的测度的概念与性质，了解σ-环上的外测度，可测集，测度扩张及广义测度。

3教学重点直线上的有界可测集的概念与此同时性质，Lebesgue测度的完全可加性可测集的Caratheodory条件，单调类定理。

5各章节教学大纲 时间分配及进度安排§1引言本节介绍如何 由区间的“长度”推广到点集的确“测度”只要求学生有初步了解即可。

（1学时）§2 有界点集的外、内测度，可测集直线上有界开集，闭集的测度及基本性质，直线上有界集的外，内测度，Lebesgue可测集及测度。

（3学时）§3 可测集的性质直线上有界集可测的充要条件，可测集的补集是可测的，可测集关于集合的并、交运算是封闭的，测度的单调性，可测集关于集合的可列并，可列交运算是封闭的测度的完全可加性，可测集的Caratheodory条件，渐张可测集列以及渐缩可测集列的测度性质，可测集与Gδ型集 与 Fσ型集之间的关系.(3学时)§4 关于测试度的几点评语直线上无界可测集及测度，多维空间点集的测度，不可测集的例。

（3学时）(5)环与环上定义的测度集类：环与σ环代数及σ代数，单调类定理环上测度的定义及性质。

（6）σ环上的测度，可集类，测度的扩张（一学时）（7）广义测度（一学时）6主要教学环节的组织在本章中最后一学时进行有关问题讨论及习题讨论第三章 可测函数1．教学内容本张介绍可测度函数类并讨论它的性质，为下一条lebesgue积分做准备；2．教学的目的及要求理解可测度函数的概念与性质，可测度函数可用简单函数来逼近，两个可测度函数的四则运算的可测性，理解叶果洛夫定理，可测函数以测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理，理解鲁津定理的两种形式；3．教学重点可测度函数可以利用简单函数来逼近，可测度函数以测度收敛与几乎处处收敛的关系，可测函数用连续函数逼近；4．教学难点业果洛夫定理 Riesy 定理、鲁津定理5．各章节教学时间安排及进度安排。

（1）可测函数的基本性质，可测函数的几个等价条件，几乎处处的概念，可测函数的上、下确界函数的可测性，可测函数的上、下极限函数及极限函数的可测性。

可测函数可以用简单函数来逼近，两个可测函数的和、差、积、商（假定运算几乎处处有定义）的可测性（5学时）；（2）可测函数列的收敛性集列的上、下限集及极限集，叶果洛夫定理可测函数列测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理。

（4学时）（3）可测函数的构造（4）鲁津定理：鲁津定理的另一种形式（2学时）6．主要教学环节的组织7．在本章最后1学时进行有关问题的讨论及习题讨论第4章勒贝格积分1．教学内容本章在前面所讲的测度论的基础上讨论勒见格积分，它是本课程的重要内容，此外本章还介绍了单调函数，有界变差函数的一些重要性质以及L.S积分；2．教学目的及要求掌握勒贝格积分的绝对连续性，σ可加性，理解掌握levr定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，游街收敛定理，理解Fubini定理，理解囿变函数的概念与性质，理解绝对连续函数的N-L公式，了解勒贝格—斯蒂杰积分概念；3．教学重点Levi定理、Fatou定理lebesgue控制收敛定理，Fooini定理，囿变函数及绝对连续函数 4．教学难点Futoni定理，勒贝格积分，σ-可积性；5．各章节教学时间分配及进度安排；（1）勒贝格积分的引入简单函数的积分及性质、非负可测函数的积分、可测函数的积分、无界集上可测函数的积分。

（4学时）（2）积分的性质积分的有限可加性，积分的绝对连续性，积分的σ-可加性，非负单增简单函数列积分与极限次序的交换，积分的线性，积分的单调性，积分的唯一性，可积函数可用简单函数或连续函数平均逼近。

（4学时）(3) 积分序列的极限Levi 定理Fatou 定理 Ledesgue 控制收敛定理有界收敛定理。

（4学时）（4）R积分与L 积分的比较定义在有限区间上的R可积函数必L可积（反之不然），有关积分与极限次序的交换L 积分优于R积分，有关 Newton-Leibniz 公式L积分优于R积分。

（4学时）（5）乘积测度与傅比尼定理乘积可测空间，可测集及可测函数的截口可测性，乘积测度空间，Fubini 定理，乘积测度的完备化*。

（4学时）（6）微分与积分单调函数，跳跃函数，跃度，列导数，Vitali 引理，单调函数几乎处处可微定理*，囿变函数及总变分，囿变函数与单调函数之间的关系，囿变函数的标准分解，可积函数的不定积分，绝对连续函数，N-L公式，奇异函数*，囿变函数的Lebesgue 分解定理。

（4学时）（7*）勒贝格—斯蒂杰积分的概念由于L-S 积分的基本想法与第四章中L 积分的建立类似，故本节内容教师可向学生作简单介绍，以学生自学为主。

6．主要教学环节的组织本章最后2 学时进行有关问题讨论及习题讨论。

第五章函数空间L P（6学时）1．教学内容L P空间的概念，L P空间的完备性、可分性，傅立叶变式概要。

2．教学目的与要求理解L P空间的概念，掌握Holder 不等式和Minkowski不等式，理解Bernstein多项式及L P 空间的可分性，了解傅立叶变式。

3．教学重点L P空间中的强收敛，完备性，可分性。

4．教学难点L P空间的完备性5．各章节教学时间分配及进度安排（1）L P空间，完备性L P（p＞1）空间，Holder 不等式，Minkowski不等式，L P空间中的范数，L P空间中点列的强收敛，L P空间中的完备性。

（2学时）（2）L P空间的可分性L P空间的可分性，Bernstein多项式，L P空间中点列的弱收敛，L2空间中的内积及标准直交系。

（2学时）（3*）傅立叶变式概要（1学时）6．主要教学环节组织在本章最后1学时进行有关问题讨论及习题讨论。

三．教学参考书[1]江泽坚、吴智泉，实变函数论(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材)[2] 郑维行，王声望编《实变函数与泛函分析概要》（第二版）第一册，高等教育出版社，1989年。

[3] 薛昌兴编《实变函数与泛函分析》上册，高等教育出版社，1993年。

[4] 夏道行等编著《实变函数论及泛函分析》（第二版）上册，高等教育出版社，1984年。