数 zn x1/ n 在 R+ 上严格增,故对任意有理数
r
n m
,
y
xr
在
R+
上亦为严格增.
易证：ax (a 1, x Q)严格增;
ax (0 a 1, x Q)严格减.前页 后页 返回
定义3 a 0, a 1, 定义
ax
sup
ar
r Q,r x ,
a 1,
inf ar r Q, r x , 0 a 1.
2
2
提示:如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是
g(x) 1[ f (x) f (x)] , h(x) 1[ f (x) f (x)].
2
2
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四、周期函数
定义5 设 f 为 D上定义的函数. 若 0, 使 x D 必有x D,且 f ( x ) f ( x), 则称 f 为周期函数, 为 f 的一个周期.
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y1, y2 f (D), y1 y2 , x1 f 1( y1 ), x2 f 1( y2 ),
由于 y1 y2 及 f 的严格增性,必有 x1 x2 , 即
f 1( y1 ) f 1( y2 ), 因此 f 1也是严格增函数.
例6 由于 yn xn 在 R+ 上严格增,因此 yn 的反函
若周期函数 f 的所有正周期中有一个最小的周期 , 则称此最小正周期为 f 的基本周期,简称周期. 例如函数 f ( x) x [ x]的周期为 1. 见后图.
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y
1
-3 -2 -1 O
1 2 3x
例9 sin x 的周期为 2π, tan x 的周期为 π, 注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：
定理1.2 设 y f ( x), x D为严格增函数,则 f 必 有反函数 f 1,且 f 1在其定义域 f (D)上也是严格 增函数. 类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f 1, 且 f 1在其 定义域上也是严格减函数.
证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f (D)只有一个 x D, 使 f (x) y. 事实上,若 x1 x2, 使 f ( x1) y f ( x2 ), 则与 f 的严格增性质相矛盾. 再证 f 1必是严格增的 :
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单 调y
y f (x)
函
数
f (x2 )
的
f (x1)
图o
象
D
x
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
D
不难知道,若 f ( x) 和 g( x) 是正值严格增的,则 f ( x)g( x) 也是正值严格增的.
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例4 任意 n N , y2n1 x2n1 在 R 上严格增; y2n x2n 在 R+ 上严格增,在 R 上严格减.
( x2 )2n ( x1 )2n , ( x2 )2n1 ( x1 )2n1,
即
x22n
x12n ,
x 2n1 2
x12n1.这就证明了
y2n
在
R
上严格减,而 y2n1 在 R 上严格增.
(3)若 x1 0 x2 或 x1 0 x2 ,则
x2n1 1
0
x2n1 2
或
x2n1 1
0
x22n1，
y arctan x, y arccot x.
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(1) 常数函数
y C
它的定义域为
,
y
yC
C
x
O
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y
(2) 幂函数（Power Functions）y x2 y x3
y x ( 0)
y x2
它的定义域随 的取
值不同而不同，但在
0,中都有定义。
图像都经过点 1,1 。
xD
xD
xD前页 后页 返回
二、单调函数
定义2 设 f 是定义在 D上的函数. 若x1, x2 D, 当 x1 x2 时, (i) 有 f ( x1) f ( x2 ), 则称 f 为D上的增函数; 特别有 f ( x1) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格增函数. (ii) 有 f ( x1) f ( x2 ), 则称 f 为D 上的减函数; 特别有 f ( x1) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格减函数.
f ( x) sin x. 注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.
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例10 任意正有理数是狄利克雷函数D( x) 的周期. 证 设 r Q+ , x R. 若 x Q, 则 x r Q, D( x r) 1 D( x); 若 x Q,则 x r Q, D( x r) 0 D( x). 因此, r 是 D( x) 的一个周期.
O
1
x
减函数；
当 a 1时，log a x 为增函数。
(0 a 1)
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(5) 三角函数
正弦函数（Sine Function）
y sin x
y
1
3
2
2
2 3
O
x 2
2
1
2
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五、初等函数
定义6 以下六类函数称为基本初等函数 (1) 常量函数 y c (c为常数);
(2) 幂函数 y x ( 为实数);
(3) 指数函数 y a x (a 0,a 1); (4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1); (5) 三角函数 y sin x, y cos x, y tan x, y cot x; (6) 反三角函数 y arcsin x, y arccos x,
-x o x
x
奇函数
偶函数
例如, y sin x, y tan x, y x2n1 是奇函数,而 y cos x, y x2n 是偶函数.
其它性质：函数的奇偶性与函数的四则运算、 复合函数的联系.
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例8 设函数 f(x)的定义域为(l, l ), 证明必存在(l, l )上
例1 证明
f (x) 1 x
为 ( 0,1] 上的无上界函数.
证明
对任何正数 M，取 ( 0,1]上一点
1
x0
M
, 1
则有
1 f ( x0 ) x0 M 1 M .
由定义知 f 为 ( 0,1] 上的无上界函数.
若 f 在其定义域 D 上有上界，记 f(D) 的上确界为
sup f ( x)
§4 具有某些特性的函数
本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性.
一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数
五、初等函数 六、双曲函数
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一、有界函数
定义1 设 f 定义在D上. 若M R, x D, f ( x) M ,则称 f 在 D上有上界；
若L R,x D, f ( x) L, 则称 f 在D上有下界； 若M R,x D, f ( x) M , 则称 f 在 D上有界. 易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界. 若M R, x0D, f ( x0) M, 则称 f 在 D 上无上 界；
证 (1)若 x R ,
由
y1
x
在
R
上为正值严格增,可知
+
y2
y1 y1
在 R+ 上亦正值严格增.
由归纳法,若已证: yn 在 R+ 上为正值严格增,
可知 yn1 y1 yn 在 R+ 上亦正值, 严格增.
即：yn xn 在 R+ 上严格增.
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(2) 若 x1 x2 0, 则 0 x2 x1,于是
xD
若 f 在其定义域 D 上有下界，记 f(D) 的下确界为 inf f ( x)
xD
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例2设函数 f ( x), g( x) 是D上的正值有界函数.
求证 : sup { f ( x)g( x)} sup { f ( x)}sup {g( x)}.
xD
xD
xD
证 x D, f ( x) sup{ f ( x)},
( x, y) G( f ) ( x, y) G( f ); 或 ( x, y) G( f ) ( x, y) G( f ).
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奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称
y
y f x)
-x
f ( x)
o xx
f ( x)
f (x)
g( x) sup{g( x)},
因此 f ( x)g( x) sup{ f ( x)}sup{g( x)},
由 x 的任意性 , 可知 sup{ f ( x)}sup{g( x)} 是{ f ( x)g( x)}的一个上界,
因此 sup{ f ( x)g( x)} sup{ f ( x)}sup{g( x)}.
减函数；
当 a 1时，a x 为增函数。
(0 a 1)
(a 1)
1
x
O
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(4) 对数函数（Logarithmic Functions）
y
y log a x (a 0, a 1)
它的定义域为 0, ，
图像在 y 轴的右侧，且
(a 1)
都经过点 1, 0。
当 0 a 1时，log a x 为
这证明了 y2n1 在 R 上严格增. 即：任意 n N , y2n1 x2n1 在 R 上严格增;
y2n x2n 在 R+ 上严格增,在 R 上严前格页减.后页 返回