l/2
两类稳定问题概述
稳定问题分类
1. 定义 结构中凡受压的杆件均为理想中心受压杆，这类结构体 系称为完善体系。图示的结构,在不考虑轴向变形时，均为完 善体系。
结构中受压的杆件或有初曲率，或荷载有偏心（例如为 压弯联合受力状态），这类结构体系称为非完善体系。
分支点失稳 分支点处既可在原始位置平衡，也可在偏 离后的新位置平衡，即平衡具有二重性。
7
Pe
极值点失稳的特点：非完善体系出现极值点失 具有初曲率的压杆 稳。平衡形式不出现分支现象，P-Δ曲线具有极值 5、极值点失稳：非完善体系： 点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构 承受偏心荷载的压杆 P 的变形过大,结构将不能正常使用. 对于工程结构两种失稳形式都是不允许的 P .因为 P (小挠度理论 ) 它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧 失承载能力,导致结构破坏.
对称问题可利用对称性做。
(静力法线性与非线性理论分析分支点失稳的步骤均为：
(1)令结构偏离初始平衡位置，产生可能的变形状态； (2)分析结构在可能变形状态下的受力，作隔离体受力 FUZHOU UNIVERSITY 图； (3)由平衡条件建立稳定分析的特征方程； (4)由特征方程在平衡两重性条件下求解临界荷载。 P96 11.2
极值点失稳 失稳前后变形性质 没有变化，力-位移 关系曲线存在极值 FUZHOU UNIVERSITY 点，其对应的荷载 即为临界荷载FPcr， FP达临界荷载FPcr 变形将迅速增长， 很快结构即告破坏。
2004年8月
§11.2
有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解） 确定体系变形形式(新的平衡形式)的 P P 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度. B 1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的 B´ λ 二重性，在原始平衡路径之外寻 找新的平衡 路径，确定分支点， EI=∞ 由此求临界荷载。
临界荷载 小挠度理论 （或线性理论） 大挠度理论 （或非线性理 论）
qcr
Pcr Pcr
原始平衡：轴向受压
新平衡形式：压弯组合
原始平衡：轴向受压
Pcr
新平衡形式：压弯组合
原始平衡：平面弯曲
分支点失稳的特点：
新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定 而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时， 这种现象带有突然性。
C Ⅰ(不稳定) P
Ⅱ(大挠度理论)
P2
l/2
Pcr P1
2 EI P1<Pcr= 2 l 原始平衡状态是 稳定的是唯一的
P2>Pcr
原始平衡状态是不 稳定的。存在两种 不同形式的平衡状 态(直线、弯曲）。
D
Ⅱ(小挠度理论)
B A
Ⅰ(稳定)
D´
Δ
Δ
O
分支点B将原始平衡路径Ⅰ 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。 临界荷载、临界状态 4
刚架、拱、窄长截面梁整体失稳示意图
2004年8月
§11.1 两类稳定问题概述
1、稳定演算的重要性 设 计 结 构 •强度演算 最基本的必不可少 •刚度演算 •稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构 趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算 日益重要。 2、平衡状态的三种情况 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。
用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形状态建立 n 个平 静力法：考虑临界状态的静力特征。 衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移 稳定计算最基本 参数不全为零，则方程的系数行列式 D因等于零，得到稳定方程： D=0 （平衡形式的二重性） 最重要的方法 它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
Pl 0 0 k A ( Pl M k ) ( Pl k ) 0 k
θ=0≠0，新平衡形式
Pcr
临界荷载
l
Pl k 0
特征方程（稳定方程）
MA=kθ10
l
例：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 -1C A B D P 解：1）静力法 1 k k l l l •设变形状态 λ P 求支座反力 A D y1 M B 0 Y A y2 B k B左 C Y =Py /l k A 1 M C 0 YD YD=Py2/l C右 R1=ky1 R2=ky2 •列变形状态 的平衡方程 Py1 (kl 2P) y1 Py2 0 )2l Py2 0 M C 0 ky1l ( l （a） C左 Py1 (kl 2P) y2 0 Py2 )2l Py1 0 M B 0 ky2l ( y1 1 l B右 y2 1 kl 如果系数行列式 • 如果系数行列式 ≠=0 0 kl 2 P 2 P P Pcr y1 1 2 0 3 (kl 2P) P 0 y1，y2不为零，对应 为零，对应 P kl 2P y2 1 P kl 原始平衡形式。 新的平衡形式。 11
第11章 结构稳定计算的基本知识
11. 1
11. 2
两类稳定问题概述
两类稳定问题分析的方法及简例
10. 1 两类稳定问题概述
1工程结构的稳定问题
加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故， 1983 年北京社会科学院科研楼兴建中脚手架的整体失稳等都是工 FUZHOU UNIVERSITY 程结构失稳的典型例子。 高层、大跨、高强方向发展，结构的部件或整体丧失稳 定性的可能性增大。因此，结构设计除须保证足够的强度和 刚度外，保证结构具有足够的稳定性也就日显重要。
Pcr O
(大挠度理论)
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
稳定问题与强度问题的区别： max 重点是求 •强度问题是在稳定平衡状态下： 内力、 当 P ,小变形，进行线性分析（一阶分析）。 应力 当 P ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。 •稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变 形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位 置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。 •非线性分析，叠加原理不再适用。 8
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。 3
3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转 为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性. 完善体系 4、分支点失稳： （或理想体系）：
P1 >P Pcr 2< cr
直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
2004年8月