求证： max{a1 , a2 , a3} max{b1 ,b2 ,b3}.
（2008 年北京大学）
6.（1）证明：多项式 p(x) x3 3x 1有三个实根 a b c ；
（2）证明：若 x t 为 p(x) 的一个根，则 x t 2 2 也是 p(x) 的一个根；
（3）定义映射 f :{a,b,c} {a,b,c} ， t t 2 2 ，求 f (a) ， f (b) ， f (c) 的值.
值是多少？
（2013 年清华大学夏令营）
（2）.以 2 和1 3 2 为两根的有理系数一元 n 次方程的最高次数 n 的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6 （2013 年北约）
2
备考 985 高校自主招生数学讲义
知识要求
1.因式分解方法 2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法
例题分析
第一讲.方程与多项式
1. 解不等式 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24.
（2009 年南京大学）
2.在实数范围内解方程 4 10+x 4 7 x 3.
（2005 年复旦大学保送生试题）
相关习题
（1）.已知 x y 1 ， n 为正整数，求证： x2n y2n 212n. （2009 年清华大学）
（2）已知 a 、 b 为非负实数， M a4 b4 ，且 a b 1，求 M 的最值.
（2006 年清华大学）
3.设实数 k 9 ，解方程 x3 2kx2 k 2 x 9k 27 0. （2006 年复旦大学保送生）
（2013 年清华大学金秋营）
7.给出一个整系数多项式 f (x) an xn an1xn1 a1x a0 ，使 f (x) 0 有一个根为
33 2．
相关习题
（2009 年函数 f (x) x4 bx2 c 的一个零点，b,c 为整数，则 b c 的
（2）请证明 2 是一个无理数. 5.设实数 a1 、 a2 、 a3 、 b1 、 b2 、 b3 满足
（2008 年复旦大学面试）
1
备考 985 高校自主招生数学讲义
aa11a2
a2 a3 a2a3
b1 a3a1
b2 b3, b1b2
b2b3
b3b1,
min{a1, a2 , a3} min{b1,b2 ,b3}.
相关习题
（1）.已知方程 x3 px2 qx 1 0 有 3 个实根， p 0 且 q 0 .求证： pq 9.
（2）.设 a,b,c R ，使得方程 x3 ax2 bx c 0 有 3 个实根.
（2008 年南开大学）
证明：如果 2 a b c 0 ，则至少存在一个根在区间[0, 2] 中.
（2013 年清华大学夏令营）
4.已知方程 x3 ax2 bx c 0 的三个根分别为 a ，b ， c ，并且 a, ，b ， c 是不全为零的
有理数，求 a ， b ， c 的值.
相关习题
（2005 年上海交通大学）
（1）.是否存在实数 x ，使得 tan x 3 和 cot x 3 均为有理数？ （2009 年北京大学）