如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Iβ 再联立求解。
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
R
R
m
m
（B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 β 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零 重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置（ ） 的一瞬间，角动量的时间变化率 为零外，其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小 角动量的大小不随时间变化
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
定理的积分形式
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例如，
单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水 平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t 下 摆至铅垂位置， 角动量大小为 L⊥ = m v⊥ r 。则此过程单摆 所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r = m r 2gr 。
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
转动动能
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能 对所有质元的动能求和
∑
得
∑
转动惯量 I
I
力矩的功
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
作的总功为 力矩的瞬时功率
拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴 平放一圆盘
总摩擦力矩 各微环带摩擦元力矩 环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩
是
的积分
粗糙水平面
圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功 得
刚体的动能定理
回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
匀质圆盘
动能定理例题一
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放
圆盘下摆 时质点 的 角速度 、切向、法向加速度 的大小 对
外力矩的功
系统
系统转动动能增量
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律 开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
时刻 m 对 O 的角动量大小为
定律的证明
瞬间 位矢扫过的微面积
即
（称为掠面速率） 守恒。
因行星受的合外力总指向是太阳，角动量
则
常量
故，位矢在相同时间内扫过的面积相等
质点系的角动量
惯性系中某 给定参考点
=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I β
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴 若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则
M = M1 + M 2
M = F1 d 1
r r2 Fτ F2 d 2 = Fτ 叉乘右螺旋2 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
τ
θi
n
fi
∑ Fi ri sin ϕ i + ∑ f i ri sin θ i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ϕi
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
内
得
内 质点系所受的
冲量矩 质点系的角动量
矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反 内力矩在求矢 两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为
用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
单位：
转动方程求导例题
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150π 100π 50π π 53π 52π 51π 50π
rad s
1
rad s
2
π t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理 若 即 则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
F2
Fτ 2
ϕ2
F1 τ
O
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
r2
P2
r1
P1
F1
ϕ1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin ϕ1 方向
d2 d1
M2
合外力矩 大小
大小
= F1 d 1 = Fτ 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin ϕ 2 F = F2 d 2 = Fτ 2 r2
Fi sin ϕ i + f i sin θ i = a iτ = ri β
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 τ 投影式为
r
ri
β
β
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
τ
θi
n
fi
刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin ϕ i + ∑ f i r θi = ∑ ri β 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri β
匀质实心球对心轴的 可看成是许多半径不同的共轴 球体算例
薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
的薄圆盘的转动惯量为
其中
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m m
L
1 mR2 I= 2
1 mL2 I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
质点 对参考点 的
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小 方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。 的 所受的合外力矩
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
角动Байду номын сангаас定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向，用代数法求合力矩。
刚体转动及角动量守恒
刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体每点 限制在一平 两点的连线 保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴 变。各点的 作圆周运动， 可平动，但 且转轴空间 始终垂直于 位置及方向 该平面且通 相同，可当 不变。 过质心 作质点处理。
通过盘心垂直 盘面的水平轴
其中
得
由转动定律 得 则
一端为轴 匀直细杆 水平位置静止释放
动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功
由 得 本题 代入得 利用 摆至垂直位置时杆的 的关系
还可算出此时杆上各点的线速度
动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位置静止释放 段，外力矩作正功 段，外力矩作负功 合外力矩的功 ∑ 由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位置时杆的 代入得
O
ϕi
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin ϕ i + f i sin θ Fi刚体的转动定律i = a iτ = ri β