第一章 傅里叶变换 1.1 傅里叶变换傅里叶（Fourier ）变换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初等的函数近似表达复杂函数（信号）的方法和手段。

1777年以前，人们普遍采用多项式函数P (x )来对信号f (x )进行表征：∑-==≈1)()(N n nn xa x P x f 。

1777年，数学家Euler 在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。

1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f (x )可以表示为系列三角函数之和，即]sin cos [2)(10∑+∞=++≈k k kkx b kx aa x f （1.1）其中2π01()cos d πk a f x kx x =⎰，2π01()sin d πk b f x kx x =⎰。

表达式（1.1）可以理解为信号f (x )是由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中a k ，b k 为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。

显然，当信号具有对称性（偶）特征时，b k =0，01()cos 2k k a f x a kx +∞=≈+∑而当信号具有反对称性（奇）特征时，a k =0，∑+∞=+≈10sin 2)(k k kx b a x f在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。

信号f (x )的傅里叶变换定义为：i ˆ()()e d ,i x f f x x ϖϖ-==⎰R（1.2） 傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。

随着计算机技术的发展与完善，科学与工程中的所有计算问题跟计算机已经密不可分，计算机计算的一个典型特征是离散化。

而式（1.2）定义的傅里叶变换本质上是一个积分计算，体现为连续化特征，同时在实际应用中信号都是通过离散化采样得到的。

为了通过离散化来采样信息以及有效地利用计算机实现傅里叶变换的计算，需要对式（1.2）实现高效、高精度的离散化。

为此，需要导出离散傅里叶变换（DFT ）的概念。

为简单计，设f (x )为[-π,π]上的有限信号，则f (x )的傅里叶变换可简化为：πi πˆ()()e d x f f x x ϖϖ--=⎰再假设采用等间距采样，其采样点数为N ，输入时域信号为f k ，要求输出频率信号为k f ˆ。

为了利用采样点f k 得到尽可能符合式（1.2）的输出值kf ˆ，DFT 的思想是根据f k 拟合出f (x )的最佳逼近多项式S (x )，然后在式（1.2）中利用S (x )代替f (x )，从而得到kf ˆ。

下面简要讨论)(x S 与k f ˆ的求法。

给定一组正交基：k Φ222{1eek k NNππ⋅=，，，…}ei 1)-(2N N k π⋅，1,,2,1,0-=N k 。

直接验证向量满足内积关系：,,k l N δ<>=k l N I ΦΦ，其中I N 为N 阶单位矩阵，,1,0,k l k lk l δ=⎧=⎨≠⎩设∑-==10i e1)(N k kxkc Nx S ，利用正交基}{k Φ求解最小二乘问题： ),,(min11010--∈N N k c c c c F k R,=∑-=-∈-1210)]2([minN n n N k c Nn S f k πR, （1.3） 求解式（1.3）得到：∑-==1N n nk N n k W f c ，1,,2,1,0-=N k ；i π2e N NW -= （1.4）现在利用S (x )的定义，以及由式（1.4）得到的系数值c k 来近似计算k f ˆ。

将式（1.4）中的系数值代入多项式函数S (x )中，并利用S (x )作为f (x )的近似，则有：11ππi i()-ππ0012πˆ()e d e d πN N lx k l x nl l k n N k n f S x x c x f W N N -----=====∑∑⎰⎰ （1.5） 除开常数2π外，式（1.5）即为通常意义的离散傅里叶变换（DFT ），其中输入f n 与输出ˆl f 分别为信号的时域与频域信息。

特别地，如果采用其他的正交基，利用最小二乘逼近则得到各种不同意义的离散正交变换，例如，离散余弦变换（DCT ，一共4种），离散正弦变换（DST ，一共4种），离散Hartley 变换（DHT ）以及离散Walsh 变换（含离散Hadmard 变换）等。

限于篇幅，在此不再一一介绍，有兴趣的读者可以参见其他相关文献。

1.2 短时傅里叶变换尽管傅里叶变换及其离散形式DFT 已经成为信号处理，尤其是时频分析中最常用的工具，但是，傅里叶变换存在信号的时域与频域信息不能同时局部化的问题。

例如，从定义式（1.2）我们看到，对于任一给定频率，根据傅里叶变换不能看出该频率发生的时间与信号的周期（如果有的话），即傅里叶变换在频率上不能局部化。

同时，在傅里叶变换将信号从时域上变换到频域上时，实质上是将信息ϖx x f i e )(-在整个时间轴上的叠加，其中ϖx i e -起到频限的作用，因此，傅里叶变换不能够观察信号在某一时间段内的频域信息。

而另一方面，在信号处理，尤其是非平稳信号处理过程中，如音乐、地震信号等，人们经常需要对信号的局部频率以及该频率发生的时间段有所了解。

由于标准傅里叶变换只在频域有局部分析的能力，而在时域内不存在局部分析的能力，故Dennis Gabor 于1946年引入短时傅里叶变换≤≤ ≤≤（Short-Time Fourier Transform ）。

短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。

图1.1（a ）、图1.1（b ）为短时傅里叶变换对信号分析示意图。

假设对信号f (x )在时间x =τ附近内的频率感兴趣，显然一个最简洁的方法是仅取式（1.2）中定义的傅里叶变换在某个时间段I τ内的值，即定义（1.6）（a ）时域加窗示意图 （b ）时频平面划分示意图图1.1 短时傅里叶变换示意图其中|I τ|表示区域I τ的长度。

如果定义方波函数g τ(x )为（1.7）则式（1.6）又可以表示为:x x g x f fx Rd e )()(),(ˆi ϖττϖ-⎰= （1.8）其中R 表示整个实轴。

从式（1.2）、式（1.7）与式（1.8）很容易看到，为了分析信号f (x )在时刻τ的局部频域信息，式（1.6）实质上是对函数f (x )加上窗口函数g τ(x )。

显然，窗口的长度|I τ|越小，则越能够反映出信号的局部频域信息。

图1.2（a ）为对于参数取τ(τ=1)，窗口函数g τ(x )的图形。

容易得到下面的简单性质：① ②将函数g τ(x )与著名的“δ函数”及其性质以及比较不难发现，“δ函数”δ(x)实际上可以视为函数gτ(x)的极限函数。

从另外一个角度来看，窗口函数可以看作对于原信号在区域上的加权，而利用方波函数gτ(x)作为窗口函数时存在的一个明显缺陷就是在区域Iτ上平均使用权值，不符合权值应该重点位于时刻τ且距离该时刻越远和权值越小的特点。

也就是权函数主值位于时刻τ，在该时刻的两端函数图像迅速衰减的特点。

在满足上述特性并保持函数的光滑性质的前提下，Dennis Gabor于1946年提出了利用具有无穷次可微的高斯函数作为窗口函数。

图1.2（b）给出了取几种不同的值时高斯函数的图像，显然高斯函数具有窗口函数所需要的性质。

下面讨论高斯函数与δ函数的关系。

x2Iτ2Iτ-()g xτ1Iτ-5-4-3-2-10123450.20.40.60.811.21.41.6a=1/2a=1/4a=1/16a=1/32（a）窗口函数g(x)的图形（b）a取值不同时高斯函数的图形图1.2 窗口函数与高斯函数的图形定理1.1 对于高斯函数g a(x)以及可积函数，g a(x)>0且对于任意a>0均是无穷次可微的，并且（1.9）对于f的所有连续点x成立。

式（1.9）称之为高斯函数的卷积性质。

将式（1.9）与δ函数δ(x)的卷积性质进行比较，不难发现，无穷次可微高斯函数g a(x)可以作为函数δ(x)的高度近似，即在连续函数的集合C上，有，。

Gabor 变换是一种特殊的短时傅里叶变换，而一般的短时傅里叶变换按照下列方式来定义。

定义1.1 信号f (x )的短时傅里叶变换（STFT ）Gf (ω,τ)定义为：（1.10）其中称为积分核。

为了保证信号f (x )的短时傅里叶变换（STFT ）Gf (ω,τ)以及逆变换有意义，一个充分必要条件为:（1.11）另外，由于g (x )可以看成是对函数x x f ϖi e )(-加权，因此，人们经常要求： （1）当)()(1R L x g ∈时()d 0g x x A =>⎰R，g (x )≥0（2）当)()(2R L x g ∈时，2()d 1gx x =⎰R以及2ˆ()d 1gϖϖ=⎰R)(τ-x g 作为对于x x f ϖi e )(-的加权，其贡献应该主要集中在x =τ附近。

最常见的要求是：g (x -τ)在x =τ附近迅速衰减，使得窗口外的信息几乎可以忽略，而g (x -τ)起到时限作用，xϖi e -起到频限作用。

当“时间窗”在x 轴上移动时，信号f (x )“逐渐”进入分析状态，其短时傅里叶变换Gf (ϖ,τ)反映了f (x )在时刻x =τ、频率ω附近“信号成分”的相对含量。

根据前面的分析，写出两种常见的窗口函数如下。

（1）B 样条⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,1)(1x x N （1.12）对于自然数m ，递推定义110()()d m m N x N x t t -=-⎰，(m ≥2) （1.13）显然，N m (x )是存在m -1阶导函数且仅在有限区间[0，m ]上非零（称之为紧支集）的 函数。

（2）高斯（Gaussian ）函数a x a ax g 42e π21)(-=，a >0前面讨论了短时傅里叶变换的概念、性质以及窗口函数的取法。

下面利用短时傅里叶变换的特性通过设计时域与频率窗口来分析信号的局部性质。

设时域窗口的中心与半径分别为*t 与g Δ，而频率窗口的中心与半径分别为*ϖ与g Δˆ，显然，*t 与*ϖ应该分别为其“重心”，即其值满足式（1.14）：2222221()d 1ˆ()d ˆt x g x xg gg ϖϖϖϖ**⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭⎰⎰RR （1.14）利用统计学原理，窗口半径g Δ与g ˆΔ应该设计为其“标准差”，表示有效半径，其值满足式（1.15）：1*222212*22ˆ21(()|()|d )||||1ˆ(()|()|d )ˆ||||g g x t g x x g g g ϖϖϖϖ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎰⎰R R ΔΔ （1.15） 为了对信号在（时间，频率）=)(a,0ϖ附近的信息进行分析，时间-频率窗口的形式设计为],[],[ˆ0*ˆ0***g g g g ΔΔΔa t Δa t ++-+⨯++-+ϖϖϖϖ。