2016年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合A = {0,2,4,6,8,10}，B = {4,8}，则 =B A
A. {4,8}
B. {0,2,6}
C. {0,2,6,10}
D. {0,2,4,6,8,10}
2. =+=|
|i 34z z
z ，则
若 A. 1
B. 1-
C.
i 53
54+
D.
i 5
354- 3. 已知向量)2
1
,23()23,
21(==BC BA ，，则∠ABC = A. 30° B. 45°
C. 60°
D. 120°
4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温
和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点 表示四月的平均最低气温约为5℃。
下面叙述不正确的是 A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个
5. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M 、I 、N 中
的一个字母，第二位是1、2、3、4、5中的一个数字，则小敏输入一次密码 能够成功开机的概率是 A.
158
B.
81
C.
151
D.
30
1 6. θθcos 3
1tan ，则若-=
2016.6
A. 54-
B. 51-
C.
51
D.
5
4 7. 已知3
13
23
42532===c b a ，，，则
A. b < a < c
B. a < b < c
C. b < c < a
D. c < a < b
8. 执行右面的程序框图，如果输入的a = 4，b = 6，那么输出的n =
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9. 在△ABC 中，4
π
=
B ，B
C 边上的高等于
3
1
BC ，则sin A = A.
103
B.
1010
C.
55
D.
10
10
3 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该
多面体的表面积为 A. 53618+ B. 51854+
C. 90
D. 81
11. 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB = 6，
BC = 8，AA 1 = 3，则V 的最大值是
A. π4
B.
29π C. π6
D.
3
32π
12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：)1(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点。
P 为C 上
一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E 。
若直线BM 经过OE 的中点，则C
的离心率为 A.
31
B.
21
C.
32
D.
4
3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 设x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤--≥+-,1,012,012x y x y x 则z = 2x + 3y - 5的最小值为___________。
14. 函数x x y cos 3sin -=的图象可由函数x y sin 2=的图象至少向右平移_______个单位长度得到。
15. 已知直线l ：120632
2=+=+-y x y x 与圆交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，
则|CD | =_______。
16. 已知f (x )为偶函数，当x x f x x -=≤--1
e )(0时，，则曲线y =
f (x )在点(1,2)处的切线方程是
_______________。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知各项都为正数的数列{a n }满足02)12(1112
1=---=++n n n a an a a a ，。
（I ）求a 2，a 3；
（II ）求{a n }的通项公式。
18. （本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。
（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
附注： 参考数据：
2.646755.0)(17.4032.97
1
i 71
7
1
2≈=-==∑∑∑===，，，i i i i i i
y y y t y。
参考公式：相关系数∑∑∑===----=
n
i i n
i i
n
i i i
y y t t
y y t t
r 1
2
1
21
)()()
)((
回归方程t b a y
ˆˆˆ+=中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： t b y a
t t
y y t t
b
n
i i
n
i i i
ˆˆ)()
)((ˆ1
2
1
-=---=∑∑==，。
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD //BC ，AB = AD = AC = 3，
PA = BC = 4，M 为线段AD 上一点，AM = 2MD ，N 为PC 的中点。
（I ）证明MN // 平面PAB ； （II ）求四面体N -BCM 的体积。
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C ：y 2
= 2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点。
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR // FQ ；
（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程。
21. （本小题满分12分）
设函数1ln )(+-=x x x f 。
（I ）讨论f (x )的单调性； （II ）证明当x x
x x <-<
+∞∈ln 1
1),1(时，； （III ）设c > 1，证明当x
c x c x >-+∈)1(1)1,0(时，。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O 中AB 的中点为P ，弦PC 、PD 分别交AB 于E 、F 两点。
（I ）若∠PFB = 2∠PCD ，求∠PCD 的大小；
（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD 。
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为)(,
sin ,
cos 3为参数ααα⎩⎨
⎧==y x 。
以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22)4
sin(=+
π
θρ。
（I ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；
（II ）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求| PQ |的最小值及此时P 的直角坐标。
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数a a x x f +-=|2|)(。
（I ）当a = 2时，求不等式f (x ) ≤ 6的解集；
（II ）设函数|12|)(-=x x g 。
当3)()(≥+∈x g x f x 时，R ，求a 的取值范围。