.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
2
2
Kt
1 4a
.
例3 求圆x2+y2=R2上任意一点M（x,y）的曲率。
解：x2+y2=R2两端求导，2x+2yy’=0 => y’=- x/y
两端求导，2+2y’2+2yy”=0 => y”= - R2/y3
d2y dx2
x '(t) y"(t) x"(t) y '(t) x '3(t)
.
. .. .. .
由 k
y 3 .
(1 y2 )2
| x y x y |
k .
.3
[x2 y2]2
例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
4)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧
例1 设工件内表面截线为抛物线y=0.4x2 现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径
多大的砂轮才比较合适？
解：砂轮半径应不大于抛物线各点曲率半径中最小值，
由抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此只要求出
其在顶点O（0，0）处的曲率半径，
y
y’=0.8x, y”=0.8
代入K=
y"
=1/R
(1
y'2
3
)2
例4 曲线弧y=sinx(0<x<π)上哪点处的曲率最大？
并求出该点曲率。
解y’=cosx,y”=-sinx,K= y" =
(1
y'2
3
)2
sin x
(1
c os2
3 (0<x<π,sinx>0)
x) 2
故所考虑区间（0<x<π） x=π/2 ，k=k(x)的最大，
设曲线弧为 y f ( x) (a x b)，其中 f ( x) 在[a, b]上有一阶连续导数
y
以对应小切线段的长代替小弧段的长
dy
小切线段的长
o a x x dx b x
(dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧微分 ds 1 y2dx
ds2 dx2 dy2
曲率K d .的计算公式
ds
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
ds 1 y2dx.
d
y 1 y2
dx,
y
k
3.
(1 y2 )2
用参数方程表示的曲线的曲率公式：
设
x
y
x(t), y(t),
r 二阶可导,或r(t) (x(t), y(t))
dy y '(t) , dx x '(t)
K=0.8，
曲率半径ρ=1.25, 直径不超过2.5
o
x
例2 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒,
飞行员体重70千克.求俯冲
o
x
到原点时,飞行员对座椅的
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
压力. Q
解 如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
mv 2
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又 ( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2
求摆线xy
(a(t sin t) a(1 cost)
在t
处的曲率(a
0)。
解：
Q y sin t , (1 y2 )3/2 1
所以K（π/2）=1为最大的曲率。
二、平面曲线的曲率中心
y
1、定义 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处曲率为K(K≠0) 在点M处曲线凹侧的法线上取点0为圆心，
使|oM|=1/K=ρ为半径作圆曲率圆
M
o
x
曲率圆圆心叫做曲线在M处曲率中心， 曲率圆半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径。
曲率圆与曲线关系： 1）在M点有相同的切线； 2）在M点有相同的曲率； 3）在M点有相同的凹向。
极坐标
x r cos
y
r
sin
心形线r a(1 cos ) (a 0).
双纽线 2 a2 cos 2 阿基米德螺线r a (a 0)
y x
三叶玫瑰线r = a sin3
sin3 ≥0，有
0 ,2 33
及 4 5 .
3
3