其中： C 、 C 、 A 、 为实常数，由初始条件确定
欠阻尼 uc Ae t sin( d t ) 衰减振荡（阻尼振荡） 4.无阻尼
Ae t
R0
2
1 R d 02 2 LC 2 L 1 d 0 0 LC
C C C
d 2 u c R du c 1 uc 0 2 L dt LC dt
特征方程 (1) R=6
s2
R 1 s 0 L LC
s1， 1， 5 2
s 2 6s 5 0
过阻尼
u c k1e t k 2 e 5t
带入初始条件
k 5k
0
u s (t ) 0
1
iL (t ) iL (t0 )e
1 ( t t0 )

0 ( t t0 ) Us (1 e )e R
t
A
t t0
方法二：（利用阶跃响应） 先将激励电压分解为
u s (t ) U s (t ) U s (t t 0 )
s1t
s2t
二阶电路的零输入响应 齐次方分
d2y dy a1 a2 y (t ) 0 2 dt dt
s 2 a1s a2 0
a1 a1 2 s1, 2 ( ) a2 2 2 a Δ ( 1 ) 2 a2 2
计算出iL的阶跃响应为
1 g i (t ) (1 e ) (t ) R

t
根据叠加定理，当激励为us(t)时
i L (t ) U S g i (t ) U S g i (t t 0 )
( t t0 ) Us Us iL (t ) (1 e ) (t ) (1 e ) (t t0 ) R R (冲激响应的内容请同学们自学。） t 1
duC dt
t 0
0
R＝4
uC ( t ) A1e 50 t A2t e 50 t A1 3 A1 3, A2 150 50 A1 A2 0 uC ( t ) 3e 50 t (1 50t )V ( t 0) uC ( t ) Ke 12.5 t sin(48.4t θ ) K sin 3 12.5 K sin 48.4 K cos 0
ε(t-t0) 零状态 g(t-t0) ε(t) 零状态 g(t)
若输入可以分解为延迟阶跃信号的和
f (t ) a 0 (t ) a1 (t t1 ) a 2 (t t 2 ) ...
则电路对f(t)的零状态响应为
y (t ) a 0 g (t ) a1 g (t t1 ) a 2 g (t t 2 ) ...
例 求us(t)作用RL电路时， iL 的零状态响应。 解：此题可有两种分析方法 方法一 (按两次换路分段求)：
0 t t0
为零状态响应
t
Us iL (t ) (1 e ) A R
0 t t0

L R
t t0
当t t 0
为零输入响应
t Us iL (t 0 ) (1 e ) , t t 0 R
一般形式
d2y dy a1 a 2 y f (t ) 2 dt dt
二阶动态方程
d y dy a1 a2 y (t ) f (t ) 2 dt dt
二阶动态响应
2
其中a1,a2为常数（与电路 结构和参数有关）
y (t ) k1e k 2 e y p (t )
固有响应 的形式由固有频率s1和s2 确定，取决于电路参数。 强迫响应 yp(t)取决于外加激励 f(t)。
4．用阶跃函数表示单边信号 uC 例1 例2 U0 0 t
ε(t)
1
0
t0
f ( t)
t
1 0 1 0 t0 t0 f ( t) t
t0 0 uC (t ) t U ( 1 e ) t0 0
( t)
t -(t-t0)
用阶跃函数将uc表示为
u c (t ) U 0 (1 e t ) (t )
1 L R 2 C
s1与s2为共轭复根，欠阻尼
R
s1与s2为不等实根，过阻尼
s1与s2为共轭虚根，无阻尼
二阶电路动态响应的求解步骤 1. 列写所求变量的动态方程 2. 求二阶电路的固有频率---动态方程特征方程的根
3. 由固有频率判断固有响应的形式
4. 找初始条件，确定响应中待定系数。
例
u (0) 0, 求当 R 分别为 6Ω 、2Ω、2 5Ω 和 0Ω 已知 u (0) 1V， 时，u 的零输入响应。 解 列出微分方程
阶跃信号 1．单位阶跃函数
1 , t 0 (t ) 0 , t 0
2.4 *阶跃响应 1
0
ε(t)
2.实际意义相当于0时刻接入电路的单位电压源或单位电流源
若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：
3. 延迟单位阶跃函数
1 , t t0 (t－t0 ) 0 , t t0
1.过阻尼(损耗较大)
Δ>0
1 R LC 2L
2
L R2 C
特征根为两个不等实根 s1 , s2 0
s1 1 s2 2
u c k1 e
2.临界阻尼
1t
k2e
2 t
Δ=0
1 R LC 2L
2
L R2 C
5 将两式平方，解出 A 2
tg 2
tg 1 2 63.4
5 t uC e sin( 2t 63.4) ( V) 2
(3) R=0 设 解出
s2 5 0
s1,2 j 5
无阻尼
u c k1 cos 5t k 2 sin 5t
u c cos 5t ( V)
A
第3节 二阶动态电路方程
二阶电路固有响应
u R u L uC us
di u R Ri u L L dt duC iC dt
d 2uC du C LC RC uc u s 2 dt dt
d 2 u C R du C 1 1 uc us 2 L dt LC LC dt
0.04H iL (t=0) uC + 0.01F R
p2 100 过阻尼
25 t
uC ( t ) A1e
2
A2 e
100 t
R＝ 4
b 4ac 0 临界阻尼 P1 P2 50 uC ( t ) A1e50 t A2 t e50 t
b 2 4ac 9375 0
d 2 uC duC 25 R 2500 uC 0 2 dt dt
特征方程
p 2 25 Rp 2500 0
b 2 4ac 625 R 2 1000
R＝ 5
b 2 4ac 5625 0
p1 25
b 2 4ac 625 R 2 10000
t RC
对RC串联电路 激励电压为ε(t) 在零状态下
i
C
u
1
gu(t)
g u ( t ) (1 e
) ( t )
1 g i (t ) e R
t RC
(t )
1 R
gi(t)
2. 阶跃响应的应用 对线性非时变电路，在零状态条件下 若电路对ε(t)的响应为g(t) 电路对ε(t-t0)的响应为g(t-t0)
1. 列方程 di L L Ri L uC dt duC C iL dt
d 2 uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
2. 求自由分量
d 2 uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
0.04H iL (t=0) uC + 0.01F R
R＝ 1
p1 , 2 12.5 j48.4
欠阻尼
uC ( t ) Ke12.5 t sin(48.4t θ )
3. 用初值确定待定系数
uC (0) 3 V
uC ( t ) A1e
R＝5
25 t
A2 e
100 t
A1 A2 3 A1 4 A2 1 25 A1 100 A2 0 uC ( t ) 4e 25 t e 100 t V ( t 0)
其中
d
1 R 02 2 LC 2 L
2
阻尼振荡频率
0
1 LC
s1t
自由振荡频率
s2t
此时
k1e k 2 e
或
1 2
应为实数，S1与S2共轭
响应可化为
u c (C 1 cos d t C 2 sin d t ) e t
uc Ae t sin(d t )
f ( t ) ( t ) ( t t0 )
4．用阶跃函数表示单边信号 例3
f (t ) 3 (t ) 4 (t 1) (t 3)
阶跃响应及其应用
1. 阶跃响应 电路在零状态条件下，对单位阶跃函数激励的响应。 零状态
ε(t) 例
g(t) R ε(t)
1
k1 k 2 1
2
0

k
k1 5
2
4 1 4
5 t 1 5t u c e e ( V) 4 4
(2) R= 2 5
s 2 2 5s 5 0
s1 s2 5