应用统计方法作业
一、在某项实验中，测得变量y 与因素x 数据如表1所示。

试建立适当的y 与因素x 的回归方程（0.01α= ）。

表1 实测数据
x 2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19 y
解：绘制散点图，如图1所示：
图1
从图1中可看出，以下三种曲线方程的曲线图都与散点图接近，因此都可以作为曲线回归的选择对象。

（1）0y x ββ=+. （2）01lg y x ββ=+.
（3）
01/y x
ββ=+.
为了更好的拟合给定数据，确定最优的回归方程，需对以上3式分别进行检验，求取
2
S 残
并比较其大小，将最小者作为因素y 与x 的最优回归方程。

1.方案1
选取曲线回归（1）进行求解。

令'x x =EXCEL 进行相应处理算得数
据，列入表2。

表2 方案1数据处理计算
由表2得：
''13
''2111.6670()i x x i l x x ==-=∑
13
21
()21.2105yy i i l y y ==-=∑
'13
''1
()()13.9389i i x y i l x x y y ==--=∑
由此得：
'''
113.9389
11.66719470
1.x y x x l l β=
=
=
'01 1.1947109.9362 3.0424=106.3014y x ββ=-=⨯-
故所求的回归方程为：
'106.3014 1.1947y x =+
进行变量还原得回归方程：
106.3014y =+检验假设H 01：10β=.
'21= 1.194713.938916.6528x y S l β=⨯=回
2221.210516.6528 4.5577yy S l S =-=-=回残
2
216.652840.1915/11 4.5577/11
S F S ===回残
对给定的0.01α=，查F(1,11)表（附表5）得临界值9.65λ=。

由于F>λ，检验效果显著，所以拒绝H 01，即回归方程有意义。

2.方案2
曲线回归（2）的求取过程，如课本例3-7示。

最终求得的回归方程为：
'106.3147 3.9466y x =+
2 2.6022,78.6605S F ==残。

3.方案3
选取曲线回归（3）求解。

令'1
x x
=
，应用EXCEL 可算的数据，列入表3。

表3 方案3数据处理计算
由表3得
''13
''21()0.2137i x x i l x x ==-=∑
13
21
()21.2105yy i i l y y ==-=∑
'13
''1
()() 2.1011i i x y i l x x y y ==--=-∑
由此得：
'''
1 2.1011
9.83200.2137
x y x x l l β-=
=
=-
'01109.93629.0.18320=111.4877578y x ββ=-=⨯+
故所求的回归方程为：
'111.48779.8320y x =-
进行变量还原得回归方程：
1
111.48779.8320y x
=-
检验假设H 01：10β=.
'21=(9.8320)( 2.1011)20.6580x y S l β=-⨯-=回
2221.210520.65800.5525yy S l S =-=-=回残 2
220.6580411.2905/110.5525/11
S F S ===回残
对给定的0.01α=，查F(1,11)表（附表5）得临界值9.65λ=。

由于F>λ，检验效果显著，所以拒绝H 01，即回归方程有意义。

4.三种方案的综合对比
通过以上求解分析，可知式（1）、（2）和（3）作为回归方程表征y 与因素x 的关系均是有意义的。

三者统计的计算结果如表4示：
表4 三种方案综合对比
由表4，方案3的残差平方和是最小的，因而其回归方程是最优的，拟合效果是最好的，方案2次之，方案1最差。