（2） sin wd (t )]d （3）
(t ) X
X
0
t
g
( )e w(t ) [cos wd (t )
t

1 2
2 (t ) X (t ) w X ( )e w( t ) [(1 ) sin w (t ) 2 cos w (t )]d Xg d d d 1 2 1 2 0
0 max
t

X
0
t
g
( ) cos(t )d
max
，所以有如下近似关系 （8） （9）
S v (T , ) wS d (T , ) V
S a (T , ) wS v (T , ) w 2 S d (T , ) A
称
V
X
0
t
t
g
4.针对 El Centro 地震波的谱分析
由于加速度仪在短周期部分失真较大，故所有图形结从 0.04s 开始绘制，时 间步长取 0.05s，拟加速度谱取 0.1s。 4.1 绝对加速度反应谱
3
反应谱
4
4.1.1 加速度反应谱 根据精确法绘出不同阻尼的加速度谱如图 1，从图中可以得出一些加速度谱 的特征。 ，0.54s（ 0.05 ） ， 1.El Centro 地震对应场地的卓越周期为 0.69s（ 0 ）
4.2.2 标准速度反应谱 根据式（13）绘出不同阻尼的标准速
(t ) 度谱如图 4，其中 X g
max
采用纪录中给
出的（并非从加速度记录积分得到） 。从 图中可以得出一些标准速度谱的特征。 1.和相对速度反应谱有相同的形状， 有相同的特性。 2.对地面速度有着不同程度的放大和 缩小，中等周期结构放大较为明显，可达 3 以上，长周期结构放大系数接近于 1。 4.3 相对位移反应谱 4.3.1 位移反应谱 根据精确法绘出不同阻尼的位移谱如 图 5， 从图中可以得出一些位移谱的特征。 1.当阻尼等于零时，反应谱的谱值最 大，峰点突出，但较小的阻尼就能使反应 谱的峰值削平很多。 2.结构自振周期 T 足够小时，相对位 移值趋近于零。 4.2.2 标准位移反应谱 根据式（14）绘出不同阻尼的标准位 移谱如图 6，其中 X g (t )
max
图4
图5
采用纪录中给
出的（并非从加速度记录积分得到） 。从 图中可以得出一些标准位移谱的特征。 1.和相对位移反应谱有相同的形状， 有相同的特性。 位移放 2.对地面位移只有在短周期时， 大系数是小于 1 的，对中长周期结构都是 大于 1 的，并且位移从较长一段时期看不 断增大。
图5
图6
5
反应谱
0.54（ 0.10 ）,可以看出阻尼对结构加速度峰值的影响是不一样的，随步
长的改变计算出的卓越周期差别较 大。 （这存在问题） 2.当阻尼等于零时，反应谱的谱值最 大，峰点突出，但较小的阻尼就能使 反应谱的峰值削平很多。 3.阻尼在对谱值的影响幅度，随周期 的增长增幅减小，所以短周期处影响 较大，长周期表现为基本重合。
max
（6）
2 2 w ( t ) [(1 ) sin wd (t ) S a (T , ) wd X g (t )e cos wd (t )]d 2 1 1 2 0
t
max
（7） 式中 S d , S v , S a 分别为相对位移反应谱，相对速度反应谱和绝对加速度反应谱。 2.2 拟反应谱 对于相对位移反应谱 S d (T , ) ，相对速度反应谱 S v (T , ) 和绝对加速度反应谱
6
4.4 基于理论的反应谱性质 从理论上讲，单自由度系统（弹性阶段）的周期 T 0 的情况，表示它是一 个绝对刚体，这时质点与地面之间无相对运动即质点的相对速度的等于零，绝对 加速度就等于地面加速度。当周期 T 0 时，相对速度反应谱等于零，加速度反 应谱等于地面加速度这一点是确定的。 当周期 T 时 （与地面加速度中长周期 分量相比） ，这相当于质点和地面之间的弹性联系很弱，这样，质点将基本处于 静止状态，即质点对地面的相对位移接近于地面位移，于是位移谱值接近于地面 2 ， （9）的近似关系，可知，速度反应谱将趋近于 位移值。根据式（8） X gman T
2.反应谱的理论基础
单自由度弹性系统在地震作用下的运动方程为
cX kX mX mX g
（1）
利用二阶常微分方程理论，Duhamal 积分和一些简单的高等数学运算，可求出其 位移反应，速度反应和绝对加速度反应如下
X (t ) 1 wd X
0 t g
( )e w(t ) sin wd (t )d
图3
4
反应谱
5
0.99s（ 0.05 ） ，0.99（ 0.10 ）,可以看出阻尼对结构速度峰值的影响是不一
样的，随步长的改变计算出的峰值对应周期差别较大。
2.当阻尼等于零时，反应谱的谱值最大，峰点突出，但较小的阻尼就能使反 应谱的峰值削平很多。 3.反应谱随周期的变化时多峰点波动的，但在相当宽的范围内它的平均值接 近于一条直线。 相对速度 4.结构自振周期 T 足够小时， 值趋近于零。
S a (T , ) 。当系统阻尼很小时，可略去 S v (T , ) ， S a (T , ) 中的
且 sin w(t ) 与 cos w(t ) 只 相 差 一 个 相 位
2 和 项， 1 2 1 2

2
，当考虑最大值时认为
( ) sin w(t )d g X
反应谱
1
地震谱分析1
1.反应谱的概念
单自由度弹性系统在给定地震动作用下的最大反应随结构自振周期的变化 曲线。同时是阻尼比的函数。 这里所说的单自由度体系可认为是满足如下条件的单质点结构， 将结构中参 与振动的质量全部集中在一点上，用无重的弹性杆件系统支撑于地面上。并假定 地面运动和结构振动只是单方向的水平平移运动，不发生扭转。地基是刚性地面 （即不考虑土-结构相互作用） 。 本文中所涉及的谱包括绝对加速度反应谱，相对速度，位移反应谱，标准反 应谱，傅立叶谱。针对 El Centro 地震波给出了部分反应谱图形，并对结果进行 了相应的分析。
3.反应谱的计算
3.1 反应谱数值计算方法 计算反应谱的方法有很多，又卷积计算法，傅立叶变换法，线性加速度法， 中点加速度法，精确法等。有关内容可参考文献[1]。 3.2 精确法 本文中采用精确法做计算，该方法是 N.C.Nigam 和 P.C.Jennings 于 1969 年 提出的， 此法的出发点是把地面运动的加速度记录相邻点间的值用分段线性差值 表示，从而获得地面运动的连续表达式。基于方程本身基础上进行，得到的结果 全部采用精确的分析方法，没有任何的舍入误差，也不会产生任何的截断误差， 所谓精确法就是指在这个意义上式精确的而然。 正因为这种方法不会引起数值计 算的误差，所以它有较高的精度，只要进行较少的运算就可以达到采用其他方法 需要较多次运算才能达到的精度。有关内容可参考文献[1][2]。
4. 步长的变化对 0 时的谱值影响
较大，峰值十分突出。 5.加速度反应谱在短周期跳动较大， 但是当周期较长时就显出随周期增加 而逐渐减小的趋势。 6.周期较长时加速度接近于零。 4.1.2 标准加速度反应谱 根据式（12）绘出不同阻尼的标准加 速度谱如图 2，从图中可以得出一些标准 加速度谱的特征。 1. 和绝对加速度反应谱有相同的形 状，有相同的特性。 2.周期足够短的结构接近并等于地震 加速度，加速度动力放大系数等于 1 （本图未能反应出，主要原因可能是 短周期加速度纪录失真所至） 。
（4） 由结论可见，绝对加速度，位移和速度，都是系统自振圆频 w ,阻尼比 ，时间
(t ) 的函数，其中 w, 有单自由度系统特性支配。 X (t ) 决 t 以及地震加速度 X g g
定于地震的实际加速度。 2.1 反应谱 如果比较不同系统之间的最大反应，可以放弃对时间 t 的考虑。反应谱就是 在这样的基础上提出来的，写成数学表达式：
kX
max
kS d mw 2 S d mA
2.3 三联反应谱 由于拟速度反应谱和拟加速度反应谱之间由（8） ， （9）的关系，对它们取对 数，得
log A log V log w
（10）
2
反应谱
3
log S d log V log w
（11）
这是直线关系。将这三个谱值反应在同一个图上，这个图称为三坐标图，或称三 联谱图。它的纵坐标是拟速度谱的对数值，横坐标是频率的对数值。对应于图上 的一点，将有四个坐标线通过：频率坐标，位移谱坐标，拟速度谱坐标和拟加速 度谱坐标。可同时给出这四个坐标值，反之，只要知道系统的两个参数，就可求 得该系统的另外两个参数。 可见，三联谱可以把系统的三个谱值表示在一张图上，如若画出该图上的任 意一条反应谱曲线，它既是拟速度反应谱曲线，又是拟加速度反应谱曲线和相对 位移反应谱曲线。 2.4 标准反应谱 取反应谱与地震动的最大值之比作为纵坐标，横坐标仍以频率或周期表示。 (t ) X (t ) X g Sa max 标准加速度反应谱 （12） a (t ) (t ) X X g g
S d (T , )
1 wd
X
0
t
g
( )e w(t ) sin wd (t )d
max
（5）

2004.5 1
反应谱
2
S v (T , )
X
0
t
g
(t )e w(t ) [cos wd (t )

1 2
sin wd (t )]d
4 2 ，加速度反应谱将趋近于 2 X gman 。 T