1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数xx f 3)(=在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1B ．x y 2=C ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝｜x －1｜＋23．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．21≥a B ．21≤a C ．21>a D ．21<a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( )A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．是增函数或减函数 (二)填空题5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______．6．若函数xax f =)(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)43(f 的大小关系是______。

*9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______．(三)解答题10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说f (x )在定义域上是增函数；乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。

11．已知函数.21)(-=xx f (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．12．已知函数||1)(x x f =． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )的图象，并根据图象写出函数f (x )的单调区间及单调性．2 函数单调性(二)(一)选择题1．一次函数f (x )的图象过点A (0，3)和B (4，1)，则f (x )的单调性为( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 2．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．),53(+∞D ．)53,(-∞3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( ) A ．(3，8) B ．(－2，3) C ．(－3，－2) D ．(0，5) 4．已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数，其值域为M ，则下列说法中 ①若x 0∈D ，则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ，则有唯一的x 0∈D③对任意实数a ，至少存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a ④对任意实数a ，至多存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a 错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (二)填空题5．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． 6．函数])2,1[(12∈-=x xx y 的值域是______． *7．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有)()(<--yx y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)．8．若函数y ＝ax 和x by -=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x ab y 在(－∞，＋∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)．9．若函数⎩⎨⎧<-≥+=)1(1)1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是______．(三)解答题10．某同学在求函数]4,1[,)(∈+=x x x x f 的值域时，计算出f (1)＝2，f (4)＝6，就直接得值域为[2，6]．他的答案对吗，他这么做的理由是什么？11．用max {a ，b }表示实数a ，b 中较大的一个，对于函数f (x )＝2x ，xx g 1)(=，记F (x )＝max {f (x )，g (x )}，试画出函数F (x )的图象，并根据图象写出函数F (x )的单调区间．*12．已知函数f (x )在其定义域内是单调函数，证明：方程f (x )＝0至多有一个实数根．3 函数的奇偶性 (一)选择题1．下列函数中：①y ＝x 2(x ∈[－1，1]) ； ②y ＝｜x ｜； ;1)(xx x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )＜0 D ．f (x )·f (－x )≤03．函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x fA ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4．下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (二)填空题5．下列命题中， ①函数xy 1=是奇函数，且在其定义域内为减函数； ②函数y ＝3x (x －1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数； ③函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3，0)上为减函数；④函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0，2)上为增函数； 真命题是______．6．若f (x )是偶函数，则=--+)211()21(f f ______．7．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝______．8．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝_______． 9．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则f (－2)与f (a 2－2a ＋3)(a∈R )的大小关系是______．(三)解答题10．判断下列函数的奇偶性：(1)2413)(xx x f += (2)xxx x f -+-=11)1()( (3)x x x f -+-=11)( (4)2211)(x x x f -+-=11．函数f (x )，g (x )都不是常值函数，并且定义域都是R ．①证明：如果f (x )，g (x )同是奇函数或同是偶函数，那么f (x )·g (x )是偶函数；②“如果f (x )·g (x )是偶函数，那么f (x )，g (x )同是奇函数或同是偶函数”的说法是否成立，为什么？*12．已知定义在[－2，2]上的奇函数f (x )是增函数，求使f (2a －1)＋f (1－a )＞0成立的实数a 的取值范围．答案 1 函数单调性(一)1．C 2．D 3．D 4．B 5．－8 6．a ＜0 7．[2，＋∞)，(－∞，2]8．f (a 2－a ＋1))43(f ≤ 9．a ∈(－∞，0]10．甲错，乙和丙都对11．(1)解：f (x )的定义域是{x ∈R ｜x ≠0}； (2)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的两个任意实数，且x 1＜x 2， 则∆x ＝x 1－x 2＜0，∆211221112111)21(21)()(x x x x x x x x x f x f y -=-=---=-=． 因为x 2－x 1＝－∆x ＞0，x 1x 2＞0，所以∆y ＞0． 因此21)(-=xx f 是(0，＋∞)上的减函数． 12．解：(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->=)0(1)0(1)(x xx xx f(2)图象如图所示，在区间(－∞，0)上是增函数，在区间(0，＋∞)上是减函数。

2 函数单调性(二) 1．B 2．A 3．B 4．A5．(3，＋∞) 6．]27,1[ 7．减函数 8．增函数 9．(0，3] 10．他的答案是正确的，因为函数y ＝x 和x y =在[1，4]上都是增函数，所以]4,1[,)(∈+=x x x x f ，也是增函数，而且，这个函数的图象是连续不断的，因此求出最大值和最小值就可以得到值域了．11．解：图象如图所示，单调区间为：在]22,(--∞和]22,0(上都是单调递减区间；在)0,22[-和),22[+∞上都是单调递增区间．12．证明：假设方程f (x )＝0有两个不相等的根x 1，x 2(不妨设x 1＜x 2)，则有 f (x 1)＝f (x 2)＝0…(*)若函数f (x )在其定义域内是增函数，则应该有f (x 1)＜f (x 2)；若函数f (x )在其定义域内是减函数，则应该有f (x 1)＞f (x 2)，无论如何，都与(*)式矛盾，故假设错误，所以，方程f (x )＝0至多有一个实数根．3 函数的奇偶性 1．B 2．D 3．C(提示：易知f (－0)≠－f (0)，所以f (－x )＝－f (x )并不能对定义域内的任意实数成立。

所以选C)4．A(提示：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f (x )＝0[x ∈(－a ，a )]．5．③ 6．07．解：任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x [1＋(－x )3]＝－x (1－x 3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即：当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为x (1－x 3)．8．解：观察函数，可知f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，令F (x )＝f (x )＋8，有F (－x )＝－F (x )，∴F (2)＝－F (－2)＝－[f (－2)＋8]＝－(10＋8)＝－18 F (2)＝f (2)＋8＝－18，∴f (2)＝－26． 9．f (－2)≥f (a 2－2a ＋3)10．解：(1)∵函数定义域为{x ｜x ∈R ，且x ≠0}24242413)(),(13)(1)(3)(xx x f x f x x x x x f +==+=-+-=-∴⋅是偶函数． (2)由011≥-+xx解得－1≤x ≤1，又∵1－x ≠0，∴x ≠1， ∴函数定义域为x ∈[－1，1)，不关于原点对称， ∴xxx x f -+-=11)1()(为非奇非偶函数． (3)x x x f -+-=11)(定义域为x ＝1，∴函数为f (x )＝0(x ＝1)，定义域不关于原点对称， ∴x x x f -+-=11)(为非奇非偶函数．(4)2211)(x x x f -+-=定义域为，}1{010122±∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ∴函数变形为f (x )＝0(x ＝±1)，∴2211)(x x x f -+-=既是奇函数又是偶函数．11．证明：①如果f (x )，g (x )同是奇函数，则f (－x )·g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是偶函数；如果f (x )，g (x )同为偶函数，则f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是偶函数．②此说法不正确．例如f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1，则f (x )·g (x )＝x 2－1，显然，f (x )·g (x )是偶函数，而f (x )和g (x )既不是奇函数，也不是偶函数．12．解：易知f (2a －1)＋f (1－a )＞⇔f (2a －1)＞－f (1－a )，因为f (x )是奇函数，所以f (2a －1)＞－f (1－a )⇔f (2a －1)＞f (a －1)，又因为f (x )是增函数，。