第6章 船舶运动控制系统建模应用6.1 引 言数学模型化(mathematical modelling)是用数学语言(微分方程式)描述实际过程动态特性的方法。

在船舶运动控制领域，建立船舶运动数学模型大体上有两个目的：一个目的是建立船舶操纵模拟器(ship manoeuvring simulator)，为研究闭环系统性能提供一个基本的仿真平台；另一个目的是直接为设计船舶运动控制器服务。

船舶运动数学模型主要可分为非线性数学模型和线性数学模型，前者用于船舶操纵模拟器设计和神经网络控制器、模糊控制器等非线性控制器的训练和优化，后者则用于简化的闭环性能仿真研究和线性控制器(PID, LQ, LQG, H ∞鲁棒控制器)的设计。

船舶的实际运动异常复杂，在一般情况下具有6个自由度。

在附体坐标系内考察，这种运动包括跟随3个附体坐标轴的移动及围绕3个附体坐标轴的转动，前者以前进速度(surge velocity)u 、横漂速度(sway velocity)v 、起伏速度(heave velocity)w 表述，后者以艏摇角速度(yaw rate)r 、横摇角速度(rolling rate)p 及纵摇角速度(pitching rate)q 表述；在惯性坐标系内考察，船舶运动可以用它的3个空间位置000,,z y x (或3个空间运动速度000,,z y x &&&)和3个姿态角即方位角(heading angle)ψ、横倾角(rolling angle)ϕ、纵倾角(pitching angle)θ (或3个角速度θϕψ&&&,,)来描述，),,(θϕψ称为欧拉角[4](见图6.1.1)。

显然T ],,[w v u 和T 000],,[z y x &&&以及T],,[r q p 和T ],,[θϕψ&&&之间有确定关系[4]。

但这并不等于说，我们要把这6个自由度上的运动全部加以考虑。

数学模型是实际系统的简化，如何简化就有很大学问。

太复杂和精细的模型可能包含难于估计的参数，也不便于分析。

过于简单的模型不能描述系统的重要性能。

这就需要我们建模时在复杂和简单之间做合理的折中。

对于船舶运动控制来说，建立一个复杂程度适宜、精度满足研究要求的数学模型是至关重要的。

图6.1.1的坐标定义如下：000Z Y X O -是惯性坐标系(大地参考坐标系)，为起始位置，0OX 指向正北，0OY 指向正东，0OZ 指向地心；o -xyz 是附体坐标系，为船首尾之间连线的中点，ox 沿船中线指向船首，oy 指向右舷，oz 指向地心；航向角ψ以正北为零度，沿顺时针方向取0︒～360︒；舵角δ以右舵为正。

对于大多数船舶运动及其控制问题而言，可以忽略起伏运动、纵摇运动及横摇运动，而只需讨论前进运动、横漂运动和艏摇运动，这样就简化成一种只有3个自由度的平面运动问题。

图6.1.2给出图6.1.1经简化后的船舶平面运动变量描述。

船舶平面运动模型对于像航向保持、航迹跟踪、动力定位、自动避碰等问题，具有足够的精度；但在研究像舵阻摇、大舵角操纵等问题时，则必须考虑横摇运动。

本章根据刚体动力学基本理论建立船舶平面运动基本方程，据此进一步导出状态空间型(线性和非线性)及传递函数型船舶运动数学模型，并考虑了操舵伺服系统的动态特性和风、浪、流干扰的处理方法。

这些结果将作为设计各种船舶运动控制器的基础。

计及横摇的四自由度船舶运动数学模型参见文献[5]。

图6.1.1 在惯性坐标系和附体坐标系中描述船舶的运动Y 0图6.1.2 船舶平面运动变量描述6.2 船舶平面运动的运动学(1)坐标系及运动学变量1)惯性坐标系及与之相关的速度分量 取00Y X O -为固定于地球的大地坐标系，原点O 设为船舶运动始点或任取，地球的曲率在此可不考虑，不过在涉及大范围航行的航线设计问题时，需单独处理。

设船舶运动速度向量V 在0OX 方向上的分量为0u ，V 在0OY 方向上的分量为0v ，船舶当前的位置是),(00y x ，时间变量以t 表示，显有⎪⎭⎪⎬⎫=-=-⎰⎰ttt v y t y t u x t x 00000000d )0()(d )0()( (6-2-1) 设船舶的艏摇角速度r 顺时针方向为正，有⎰=-tt r t 0d )0()(ψψ (6-2-2)2)附体坐标系及与之相关的速度分量 取附体坐标系oxy 位于满载水线面内。

船舶运动速度V 在ox 方向上的分量为u ，称为前进速度，V 在oy 方向上的分量为v ，叫做横漂速度。

同一速度向量V 在惯性坐标系的分量),(00v u 及附体坐标系的分量),(v u 有下列明显的关⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡v u v u ψψψψcos sin sin cos 00 (6-2-3)3)两种坐标系内运动学变量之间的关系 在惯性坐标系内船舶的位置和姿态由T 00)](),(),([t t y t x ψ确定，在附体坐标系内船舶之运动速度和角速度由[]T)(),(),(t r t v t u 表示。

由式(6-2-1)，式(6-2-2)和式(6-2-3)知⎪⎭⎪⎬⎫++=-+=+=⎰⎰⎰tttt t t v t t u y t y t t t v t t u x t x tt r t 0000000d )](cos )()(sin )([)0()(d )](sin )()(cos )([)0()(d )()0()(ψψψψψψ(6-2-4)可见，要确定船舶在任意时刻的位置和姿态，首先应该求出在附体坐标系内u,v,r 的变化规律，为此需要建立船舶运动的动力学方程。

(2)平面运动中船舶各点上速度之间的关系1)刚体运动分解为移动和转动 从运动控制角度将船舶视为刚体是足够准确的，因此其运动是由移动(translation)和转动(rotation)叠加而成；可以取船上任意一点为参考点，船舶一方面整体地随该参考点平行移动，另一方面绕该参考点同时发生旋转运动；移动速度即参考点的速度，故与参考点选择有关，转动角速度则与参考点无关，即对任意的参考点均为同值，对于船舶平面运动，该转动角速度即为艏摇角速率r 。

2)船舶任意点P 处的合速度 取o 为参考点(图6.2.1)，船上任一点P 对o 点向径为j i j i ρ,,y x o +=为ox 及oy 轴上的单位向量。

以向量形式表示旋转角速度，有k ωr =,k 为沿oz 轴的单位向量，ω即为艏摇角速度向量。

由理论力学，因刚体转动而造成的速度为o r ρωV ⨯=，故P 点的合速度是ji ρωV V V V )()(xr v yr u o r P ++-=⨯+=+=(6-2-5)注意：单位向量×乘所得向量满足右手法则，如i k ⨯，右手从k 的正方向逆时针握向i 的正方向，大拇指所指方向即j 的正方向，如果方向与j 的正方向相反，结果加负号。

图6.2.1 移动与转动速度的合成考虑船舶质心C ，其对o 点之向径为j i ρC C C y x +=，则C 点之速度为P Vji j i ρωV V )()()(r x v u r x v r y u C C C C C ++=++-=⨯+=(6-2-6)上式最后一步是由于船舶配载对称于纵舯剖面，0=C y 。

如果取质心C 为参考点，应该从oxy 坐标系过渡到ξηC 坐标系，后者是前者沿ox 方向平行移动距离C ρ而得。

P 对C 的向径为j i d ηξ+=，于是有ji d ωV V )()(r v r u C C C P ξη++-=⨯+=(6-2-7)6.3 船舶平面运动的动力学在推导船舶运动方程时，做下列假设：≠ 船舶是一个刚体；≡ 大地参照系是惯性参照系；≈ 水动力与频率无关，水的自由表面做刚性壁处理。

有了第一个假设就不用考虑每个质量元素之间的相互作用力的影响，而第二假设则可以消除由于地球相对于恒星参照系的运动所产生的力。

(1)平移运动方程的建立1)刚体的动量 刚体被看做无数质量微团的集合体，各微团保持其形状及彼此之间的距离不变。

刚体动量G 为各微团动量m P d V 的积分，即⎰⎰⎰⎰⨯+=⨯+==m m m m C C P d d d )(d d ωV d ωV V G上式最后一项按照质心的定义应为零，设m 是刚体的总质量，则C m V G = (6-3-1) 2)刚体动量定理 牛顿运动定律指明，刚体动量的变化率等于其所受外力之和。

以j i F Y X +=代表合外力，其中，X 是作用于ox 方向上的外力，Y 是作用于oy 方向上的外力，有F G =t d /d (6-3-2) 利用式(6-2-6)、式(6-3-1)和式(6-3-2)，且注意到i j j i r t r t -==d /d ,d /d (因整个坐标系是建立在附体坐标系基础上的，而附体坐标系是随着船舶的移动和转动而移动和转动的，故其导数存在。

如果在惯性坐标系，则其导数为0)，参见图6.3.1，经整理得⎭⎬⎫=++=--Y r x ur v m X r x vr u m C C )()(2&&& (6-3-3)ij图6.3.1 单位向量微分关系式(6-3-3)即为船舶平移的动力学基本方程，注意其形状与熟知的牛顿方程有所差异，这是由于建立船舶运动数学模型应用的oxy 是非惯性坐标系所致。

式(6-3-3)左端附加项mvr-及mur 是船舶宏观旋转中向心惯性力分量；附加项2r mx C -及r mx C &分别是由于质心C 对原点o 做旋转运动产生的向心惯性力及切向惯性力(离心惯性力)。

(2)旋转运动方程的建立1)刚体的动量矩 刚体对质心C 的动量矩C H 为各微团对C 动量矩)d (m P V d ⨯的积分，即⎰⎰⎰⎰⎰=+=+⨯⨯+=⨯⨯+⨯=⨯=kk j i k j i d ωd V d V d H r I m r m r m m m C P C ζζηξηξηξ]d )([d )()(d )(d )(d )(22(6-3-4)其中⎰+=m I d )(22ηξζζ为船舶对过C 点的垂直轴)(ςo 的惯性矩。

2)对质心C 的动量矩定理 同样由牛顿运动定律，运动着的刚体对质心C 的动量矩变化率等于其所受外力矩之和，以k M C C N =表示后者，C N 为外力矩之代数和，于是C C t M H =d /d即 C N rI =&ζζ (6-3-5) 3)对于坐标系oxy 原点o 的动量矩定理 形式为式(6-3-5)的动量矩定理只适用于质心C 。

现由该式出发对力矩和动量矩进行变换以导出适用于o 点的动量矩定理表达式。