等于零：
n M ( F O Ii ) 0
于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点O简化，得到
FIR (mi ai ) maC ma ma
t C
t Ii 2
M I O M O (F ) ( mi ri ) J O
n C
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
建立平衡方程，得到所需要的解答。
达朗贝尔原理应用示例
例题1
电动机外壳和定子的总 质量为m1，质心O与转子的 中心重合；转子的质量为 m2 ，由于制造或安装误差， 转子的质心O1到定子的质 心O的距离为e，已知转子 以等角速 转动。 求：电动机机座的约束力偶。
达朗贝尔原理应用示例
FI
惯性力系的简化
惯性力系的主矢与主矩 刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作平面运动时惯性力系的简化与主矩
所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系。
与一般力系相似，惯性力系中所有惯性力的矢量 和称为惯性力系的主矢：
离心调速器
已知： O1 l A l

m1－球A、B 的质量；m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；－ O1 y1轴的旋转角速度。 x1 求： － 的关系。 解： 1. 分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT2 B C FT1
l B l

C
FT3
对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。 因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系，
然后再作进一步简化。
设刚体的质量为m，对
质心轴的转动惯量为JC，角
速度和角加速度分别为ω和 。
惯性力系的简化
刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为 随质心的平移和绕质心的转动。
因此，简化到对称平面内的惯 性力系由两部分组成：刚体随质心平 移的惯性力系简化为一通过质心的力； 绕质心转动的惯性力系简化为一力偶。 该力和力偶分别为
FIR m aC
M I C M C (F ) ( mi ri ) J C
t Ii 2
惯性力系的简化
刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
e F i FIi 0
e M O (Fi ) M O (FIi ) 0
这两个矢量式可以写出六个投影方程。 根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性
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力，就可以应用上述方程求解动力学问题，这就是
质点系的动静法。
第11章 达朗贝尔原理及其应用
ait ri
ain 2 ri
t FIi mi ait mi ri n FIi mi ain mi 2 ri
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
再将平面惯性力系向点 O简化，得一力和一力偶。
因为所有质点的法向惯性力
都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和
FT2
FT3

F´T1
B
FI
C m2 g
FT1 m1 g 解：
Fx1 0 F
y1
m1l 2sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
＝FT3 , FT1
m2 g ＝ FT1 , 2cos
＝FT1 FT1
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第11章 达朗贝尔原理及其应用
引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解 平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为 “动静法”。“动”代表研究对象是动力学问题；“静”代 表研究问题所用的方法是静力学方法。 达朗贝尔原理提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤 其适用于受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此 在工程技术中有着广泛应用，并且为“分析力学”奠定了理论 基础。 达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路， 但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方 程，并在某些应用领域也是等价的。
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FIR F Ii (mi a i ) m a C
惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力 偶矩矢量的矢量和，称为惯性力系的主矩：
M IO MO ( FIi )
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力 系的主矩与刚体的运动形式有关。
M IO J O
2）刚体作匀角速度运动，角加速度 α 等于零，转轴 不通过刚体的质心， 惯性力系的简化成一个力： 惯性力大小：
FIR ma c
FIR mrc
2
刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量
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F´T1
y1
m1 g
m2 g
m1－球A、B 的质量；m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；－ O1 y1轴的旋转角速度。 FT2 FT3

2. 分析运动：
F´T1
B

FI
球绕 O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为
C
FI＝m1l 2sin
重锤静止，无惯性力。 m2 g
解：现在，采用动静法 可以确定约束力偶。
电机所受真实力有
aO2 m1g M2 g
m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M； 惯性力 F I
M Fy
Fx
FI m2 e 2
FI
aO2 m1g
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
FIR ma C ma ma
t C
n C
讨论：
M I O MO ( FIti ) ( mi ri2 ) J O
1）转轴通过刚体的质心 ，角加速度 α 不等于零，
ac 0, FIR mac 0
惯性力系的简化成一个力偶：
3. 应用动静法：
FT1 m1 g 对于球 B:
Fx1 0 F
y1
m1l 2sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
对于重锤 C
＝FT3 , FT1
m2 g ＝ FT1 , 2cos
＝FT1 FT1
惯性力与达朗贝尔原理
质点的惯性力与达朗贝尔原理
假想在运动的质点上加上惯性力，则可认为作用在质 点上的主动力、约束力以及惯性力，在形式上组成平衡力 系。此即达朗贝尔原理，亦即动静法。
动静法平衡方程的矢量形式
动静法平衡方程的投影形式
F FN FI 0
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0
注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现， 且等值、反向，故上式中
i F i 0
i M ( F O i )=0
上述方程变为:
e F i FIi 0
e M O (Fi ) M O (FIi ) 0
惯性力与达朗贝尔原理
质点系的达朗贝尔原理
FIR m aC
M I C M C (FIti ) ( mi ri2 ) J C
上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面 运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向 质心C简化的结果为对称面内的一力和一力偶。
这一力(通过质心的力) 大小为刚体质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的 力偶矩等于惯性力系对质心C的主矩，其大小为刚体 对轴C的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速 度的方向相反。
惯性力与达朗贝尔原理
质点的惯性力与达朗贝尔原理
动静法方程的矢量形式 动静法方程的投影形式
F FN FI 0
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0
应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还 必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力 学完全相同。 需要注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解 动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映 了真实力与运动之间的关系。
惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加 速度都相同，惯性力系为平行力系，所以，惯性力 系简化结果为通过质心C的合力，用FIR表示：
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FIR m aC
其中m为刚体的质量; aC为刚体的质心加速度。
m a F FN
若将上式左端的ma移至右端，则有
F FN m a 0
FI m a
F FN FI 0
F FN FI 0
可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与 加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与 质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力，简称惯性力。 上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引 入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的 静力平衡问题。
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第11章 达朗贝尔原理及其应用
达朗贝尔原理应用示例
将达朗贝尔原理即动静法应用于分析和求 解刚体动力学问题，一般应按以下步骤进行： 进行受力分析－先分析主动力，再根 据刚体的运动，对惯性力系加以简化； 画受力图－分别画出真实力和惯性力；
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FIR ma C ma ma
t C
n C
M I O MO (FIti ) ( mi ri2 ) J O