第八讲曲线与方程
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．
知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤
重要结论
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求轨迹问题常用的数学思想
(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y 的方程及函数关系．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．
(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论错误的是( ABCD ) A ．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线
B ．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2
C ．y ＝kx 与x ＝1
k
y 表示同一直线
D ．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 题组二 走进教材
2．(必修2P 37T3)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－1
4，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于
y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．圆
D ．抛物线
[解析] 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．
题组三 考题再现
3．(2019·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( B )
A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(0,2)
D ．(0,0)
[解析] 圆心C 在抛物线上，设与直线x ＋2＝0相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线x ＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0)，故选B ．
4．(2019·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
[解析] 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．
5．(2019·豫北名校联考)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3.则顶点A 的轨迹方程为__(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)__.
[解析] 设A (x ，y )，由题意可知D (x 2，y 2)．又∵|CD |＝3，∴(x 2－5)2＋(y
2)2＝9，即(x －10)2
＋y 2＝36，由于A 、B 、C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 曲线与方程——自主练透
例1 (多选题)关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2
＝1，(其中m 2≠2
3)对应的曲线可能是
( ABCD )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在y 轴上的椭圆
C ．焦点在x 轴上的双曲线
D ．圆
[解析] 由题，若m 2＋2>3m 2－2，解得－2<m <2，3m 2－2>0，解得m <－63或m >6
3
，则当x ∈(－2，－
63)∪(6
3
，2)时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，A 正确；若3m 2－2>m 2＋2，解得m <－2或m >2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，B 正确；若3m 2－2<0，解得－
63<m <6
3
，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，C 正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以D 正确．故选ABCD ．
〔变式训练1〕
(多选题)(2020·山东青岛一中期末)已知点F (1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( AD )
A ．y 2＝4x
B ．x 2＝4y
C ．x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)
D ．x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2
)
[解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π
4时，sin 2θ＝cos 2θ
＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π
2)的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD ．
考点二 定义法求轨迹方程——自主练透
例2 (1)(2019·沈阳模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，
则点P 的轨迹方程为( C )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．x 2＝8y
D ．x 2＝－8y
(2)(2019·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )
A ．x 29＋y 2
4＝1
B ．x 236＋y 2
31＝1
C ．x 29－y 2
4
＝1
D ．x 236－y 2
31
＝1
(3)(2019·大庆模拟)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M
的轨迹方程为__x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1)__. [解析] (1)由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .故选C ．
(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6>25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝2
5，∴b 2＝4，∴点
G 的轨迹方程为x 29＋y 2
4
＝1，故选A ．
(3)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，且圆M 半径为r ，则|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋3，∴|MC 2|－|MC 1|＝2.
即动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<|C 1C 2|＝6，|MC 2|>|MC 1|，故动圆圆心M 的轨迹为以定点C 2，C 1为焦点的双曲线的左支，则2a ＝2，所以a ＝1.
又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8.
设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，则动圆圆心M 的轨迹方程为
x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1)． [引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 2
5
＝1(x ≤－2)__. [引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨道方程为__x 24－y 2
5
＝1(x ≥2)__. [引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2
－y 2
8
＝1(x ≥1)__. [引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 2
5
＝1__.
名师点拨 ☞
定义法求轨迹方程及其注意点
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．
〔变式训练2〕 (1)动圆M 经过双曲线x 2－
y 2
3
＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x。