函数的概念与性质训练题 (1) 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设函数f(x)={(x+1)4,x>1√x3+1,x≤1，则当0<x<1时，f(f(x))表达式的展开式中二项式系数最大值为A. 32B. 4C. 24D. 62.已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数，f(x)在(2,+∞)上单调递减，则不等式f(ln x)−f(1)<0的解集是()A. (0,1)∪(3,+∞)B. (1,3)C. (0,e)∪(e3,+∞)D. (e,e3)3.将函数f(x)=2sin(x+π6)的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则()A. g(x)=2sin12x B. g(x)=2sin(12x+π3)C. g(x)=2sin(2x−π6) D. g(x)=2sin(2x+5π6)4.若f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log12x，则f(f(4))=A. 1B. −1C. 2D. −25.下列函数是奇函数的是()A. y=xsin xB. y=x+sin xC. y=sinxx D. y=xsinx6.设函数f(x)=x2+2cosx,x∈[−1,1]，则不等式f(x−1)>f(2x)的解集为()A. (−13,1) B. [0,13) C. (13,12] D. [0,12]7.已知f(x)={−1+log2(−2x),x<0,g(x),x>0为奇函数，则f(g(2))+g(f(−8))=A. 2+log23B. 1C. 0D. −log238.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)()A. 在(−∞,0)上为减函数B. 在x=1处取极小值C. 在x=2处取极大值D. 在上为减函数9.已知f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=x2，如果直线y=x+a与曲线y=f(x)恰有两个不同的交点，则实数a的值为()A. 2k(k ∈Z)B. 2k 或2k −14(k ∈Z) C. 0D. 2k 或2k +14(k ∈Z)10. 已知函数f (x )=3x −3−x2，则下列说法正确的是( )A. f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B. f (x )偶函数，且在(0,+∞)上单调递增C. f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减D. f (x )是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11. 已知函数f(x)={−1x ,x <0,g(2x)−1,x ≥0,若f(x)是奇函数，则g(4)的值是_________．12. 已知f(x)={x −3(x ≥9)f[f(x +4)](x <9)，则f(7)=_______．13. 已知函数f (x )={(−x )12,x ≤0,log 5x,x >0,函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0,1]时，g (x )=2x −1，则函数y =f (x )−g (x )的零点个数是________． 14. 设函数f (x )={log 2x,x >0,4x ,x ≤0,则f(f (−1))的值为________．15. 已知奇函数f (x )的定义域为R 且在R 上连续.若x >0时不等式f (x )>f (1x )的解集为(2,3)，则x ∈R 时f (x )<f (1x)的解集为______．16. 已知函数f(x)为偶函数，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=−2x +1，f (−1)=____________；当x ∈(−∞,0)时，f(x)=_____________． 17. 函数f (x )={x 2+2x,x ≤0,lnx,x >0,则f (f (1e ))=________．18. 给出下列命题：(1)正切函数图象的对称中心是惟一的;(2)若函数f(x)的图象关于直线x =π2对称，则这样的函数f(x)是不惟一的; (3)若x 1,x 2是第一象限的角，且x 1>x 2，则sinx 1>sinx 2 ;(4) 若f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期是T ，则f(−T2)=0 其中正确命题的序号是 ．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分） 19. 已知函数f(x)=|x −2|−|x −1|．(1)求不等式f(x)≤x −1的解集；(2)求函数φ(x)=f(x)+x2+3的最值．20.如图，设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．(1)若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；(2)设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数和二项展开式的特定项与特定项的系数．利用分段函数得f(f(x))=f(√x 3+1)=(√x 3+2)4， ，再由二项式定理可得，展开式中共有5项，根据展开式中间项的二项式系数最大，可得结论．解：因为函数f(x)={(x +1)4,x >1√x 3+1,x ⩽1，当0<x <1时，f (x )=√x 3+1∈(1,2)，所以f(f(x))=f(√x 3+1)=(√x 3+2)4，由二项式定理可得，展开式中共有5项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第3项的系数最大，则展开式中二项式系数最大值为C 42=6． 故选D ． 2.答案：C解析：【分析】本题主要考查抽象不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可． 【解答】解：∵f(x +2)是R 上的偶函数，∴f(x)关于x =2对称，在(2,+∞)单调递减，在(−∞,2)单调递增， ∴不等式f(lnx)−f(1)<0等价为即f(lnx)<f(1)， lnx <1或lnx >3， 即0<x <e ，或x >e 3即不等式的解集为(0,e)∪(e 3,+∞)． 故选C ． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角函数的平移及伸缩变换，属于基础题． 先将函数进行伸缩变换得到，再将函数的图象向左平移得到g(x)的图象．【解答】 解：将函数的图象上各点纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍得到，再将函数的图象向左平移得到故选B ．4.答案：A解析：【分析】利用函数的解析式结合奇函数的性质整理计算即可求得最终结果． 本题考查奇函数的性质及其应用，对数的运算法则等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 【解答】解：由题意可得f (4)=log 124=−2 又因为函数为奇函数，f(−x)=−f(x) 所以f(f (4))=f (−2)=−f (2)=−log 122=1故选A ． 5.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据定义和函数奇偶性的性质是解决本题的关键． 根据奇函数的定义进行判断即可． 【解答】解：A.定义域为R ，f(−x)=−xsin(−x)=xsinx =f(x)是偶函数，不满足条件． B .定义域为R ， f(−x)=−x +sin(−x)=−x −sinx =−f(x)是奇函数，满足条件． Cy =sinx x 的定义域为{x|x ≠0}，且f (−x )=−sin x −x=f (x )为偶函数，不满足条件．Dy =xsinx 的定义域为{x|x ≠kπ, k ∈Z }，且f (−x )=f (x )为偶函数，不满足条件． 故选B 6.答案：B解析：【分析】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式及利用导数研究函数的单调性，属中档题． 由函数f (x )偶函数且在[0,1]上为增函数，故不等式等价于{−1≤x −1≤1−1≤2x ≤1|x −1|>|2x |，解不等式组即可．【解答】 解：∵函数，∴f (−x )=f (x )， ∴f (x )为偶函数，，x ∈[−1,1]，令ℎ(x)=2x −2sinx ，则ℎ′(x)=2−2cosx >0，在[−1,1]上为增函数，当0<x <1时，0=f′(0)<f′(x )， ∴f (x )在[0,1]上为增函数， 由f (x )为偶函数，则不等式f(x−1)>f(2x)等价于{−1≤x−1≤1−1≤2x≤1 |x−1|>|2x|,解得0≤x<13，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与求函数值，分段函数的应用，对数的运算，属于中档题．由题意先求出x>0时对应的函数解析式，再由内向外求函数值．【解答】解：因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)=−f(−x)=−(−1)−log2(2x)=1−log2(2x)，则g(x)=1−log2(2x)，g(2)=1−log24=−1，f(g(2))=f(−1)=−1+log22=0，f(−8)=−1+log216=3，g(f(−8))=g(3)=1−log26=−log23．故选D．8.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道基础题．根据图象得到f′(x)的符号，从而求出函数的单调区间和极值点，得到答案．【解答】解：由图象得：x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，f(x)递增，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)递减，x∈(2,4)时，f′(x)>0，f(x)递增，x∈(4,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减，x=0，4是极大值点，x=2是极小值点，故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的周期性、奇偶性、求函数的解析式，体现了数形结合的数学思想．先求出−1≤x≤0时f(x)的解析式，即得x∈[−1,1]时f(x)的解析式，再据周期性可得x∈[2k−1,2k+1]时f(x)的解析式，如图，直线y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距等于a，故直线过顶点或与曲线相切时，满足条件．【解答】解：设−1≤x≤0，则0≤−x≤1，f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，综上，f(x)=x2，x∈[−1,1]，f(x)=(x−2k)2，x∈[2k−1,2k +1]，由于直线y =x +a 的斜率为1，在y 轴上的截距等于a ，在一个周期[−1,1]上， a =0时满足条件，a =−14时，在此周期上直线和曲线相切， 并和曲线在下一个区间上图象，有一个交点，也满足条件．由于f(x)的周期为2， 故在定义域内，满足条件的a 应是2k 或2k −14，k ∈Z ． 故选B ．10.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，属于基础题．由函数的奇偶性的定义判断函数为奇函数，再判断函数的单调性，可得正确结果． 【解答】解：∵f(x)的定义域为R ，且f(−x)=3−x −3x2=−f(x)，∴f(x)为奇函数，又y =3x 为增函数，y =3−x 为减函数，∴y =3x −3−x 为增函数， 故f(x)在(0,+∞)上单调递增， 故选A ．11.答案：12解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性以及分段函数.属于基础题． 根据题意得到f (−2)=−1−2=12和f (2)=−12即可． 【解答】解：∵函数f(x)={−1x ,x <0,g(2x)−1,x ≥0,∴当x =−2时，f (−2)=−1−2=12， 又∵f(x)是奇函数，∴f (−2)=−f (2)，即f (2)=−12， 又∵f (2)=g (4)−1， ∴g (4)=f (2)+1=12， 故答案为12．12.答案：6解析：【分析】本题考查分段函数的求值，属于基础题．根据x 的范围，代入相应的解析式中，一步一步化简即可求解． 【解答】解：因为7<9，所以f(7)=f(f(11))=f(8)=f(f(12))=f(9)=6． 故答案为6． 13.答案：6解析：【分析】本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解．函数y =f(x)−g(x)的零点就是函数y =f(x)与y =g(x)图象的交点，因此分别作出这两个函数的图象，然后据图判断即可． 【解答】解：函数y =f(x)−g(x)的零点就是函数y =f(x)与y =g(x)图象的交点． 在同一坐标系中画出这两个函数的图象：由图可得这两个函数的交点为A ，O ，B ，C ，D ，E ，共6个点． 所以原函数共有6个零点． 故答案为6． 14.答案：−2解析：【分析】本题考查分段函数求值，先求f(−1)，然后再代入计算可得答案． 【解答】解：由题意可得f(−1)=4−1=14， 所以f(f(−1))=f(14)=log 214=−2． 故答案为−2．15.答案：(−3,−2)⋃(0,2)⋃(3,+∞)解析：【分析】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题．当x >0时，易得f (x )<f (1x )的解集为(0,2)⋃(3,+∞)；利用奇函数的性质可得当x >0时，−f (−x )>−f (−1x )的解集为(2,3)，令t =−x <0即可得解．【解答】)的解集为(0,2)⋃(3,+∞)，解：由题意可得当x>0时，f(x)<f(1x)的解集为(2,3)，由奇函数的性质可得当x>0时，−f(−x)>−f(−1x)的解集为(−3,−2)，令t=−x<0，则−f(t)>−f(1t)的解集为(−3,−2)，即当x<0时，f(x)<f(1x)的解集为(−3,−2)⋃(0,2)⋃(3,+∞)．所以f(x)<f(1x故答案为：(−3,−2)⋃(0,2)⋃(3,+∞)．16.答案：−1，−2−x+1解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，在求解函数的解析式中的应用，属于容易题．f(x)为偶函数，则f(−1)=f(1)，f(1)的值可由已知解析式求出；设x<0，则−x>0，由函数在x>0时的解析式可得f(−x)的解析式，又由函数为偶函数，可得f(x)=f(−x)，即可求解．【详解】∵f(x)为偶函数，∴f(−1)=f(1)，∵x∈(0,+∞)时，f(x)=−2x+1，∴f(−1)=f(1)=−21+1=−1设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−2−x+1，又由函数y=f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)=−2−x+1，所以当x<0时，f(x)=−2−x+1，故答案为：−1;−2−x+1．17.答案：−1解析：【分析】本题考查分段函数求函数值，属于基础题．由解析式先求f(1e )，然后求f(f(1e ))即可． 【解答】解： 由函数f(x)={x 2+2x,x ⩽0ln x,x >0，则f(1e )=ln 1e =−1，所以f(f(1e ))=f(−1)=(−1)2+2×(−1)=−1． 故答案为−1． 18.答案：(2) (4)解析：【分析】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，属于基础题． 根据函数的性质逐一分析判断即可得解． 【解答】解：对于(1)，正切函数图象的对称中心是(kπ2,0),k ∈Z ，并不唯一，有无数个，故(1)错误； 对于(2)，若函数f(x)的图象关于直线x =π2对称，则这样的函数f(x)是不唯一的，可以是正弦函数，也可以是二次函数，故(2)正确；对于(3)，若x 1=390°，x 2=60°，且x 1>x 2，但不满足sinx 1>sinx 2，故(3)错误； 对于(4)，f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(−x)=−f(x)， 又知f(x)的最小正周期是T ，则f(x)=f(x +T)，令x =−T2，得f(−T2)=f(T2)，则f(−T2)=−f(−T2)，则f(−T2)=0；故(4)正确． 故答案为(2)(4)．19.答案：解：当x <1时，1≤x −1，即x ≥2，无解；当1≤x ≤2时，−2x +3≤x −1，解得x ⩾43，所以43⩽x ⩽2； 当x >2时，−1≤x −1，解得x ≥0，所以x >2． 综上所述，不等式的解集为．(2)由题意知φ(x)=|x −2|−|x −1|+x 2+3，即作出函数φ(x)的部分图象(如图所示)，数形结合易知当x =0时，φ(x)有最小值，且为4，无最大值．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)把f(x)写成分段函数，在每一段上分别求不等式的解集，再取并集，即得所求；(2)将φ(x)写成分段函数，画出其图象，结合图象可得函数φ(x)的最值．20.答案：解：(1)因为正四棱锥的棱长都相等，所以可设AP =PQ =a ；在等边三角形APQ 中，AH =√32a =2√2−a 2，得a =√6−√2， 因此OP =√22a =√3−1，AO =√AP 2−PO 2=√3−1， 所以V =13a 2·AO =4√3−203； (2)在Rt △APH 中，AH =PH ·tanx =12PQ ·tanx =AC−PQ 2=2√2−PQ 2=√2−12PQ ， 所以PQ =2√21+tanx ，AH =√2tanx 1+tanx； 所以S =4×12×PQ ×AH=2·2√21+tanx ·√2tanx 1+tanx=8·tanx (1+tanx)2 =8·1tanx+1tanx +2，x ∈[π4,π2)；因为函数y =tanx +1tanx ，tanx ∈[1,+∞)为单调增函数，所以(tanx +1tanx )min =2，即S max =2，此时tanx =1，x =π4．解析：本题主要考查了正四棱锥的几何性质，正四棱锥中的棱长、高、体积的计算，建立函数模型并求其最值的方法，有一定的难度(1)若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；(2)先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数即可．。