数。
A
建立可达矩阵R。经计算后得： (A+I)1 ≠ (A+I)2 = (A+I)3 ∴ R= (A+I)2
1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 R 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
• A1≠ A2≠ ····· ≠ An-1 =An • 则有R= An-1 =(A+I)n-1 • R----可达矩阵，它表明各节点间经过长度不大于(n-1)条通道可
以到达的程度。对于节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不超 过(n-1).
例：现有如下图所示7个要素组成的系统，试建立它 的关系，并求邻接矩阵和可达矩阵。
7
4 5
6 3
2 1
• 有向连接图
由此可得邻接矩阵A
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
矩 • A的元素全为零的行所对应的节点为汇点。 阵 • A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。 的 • 对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开该节点的有向边 特 数。 性 • 对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入该节点的有向边
，其中K为级次
Lk Si P L0 L1 Lk1 Rk1(Si ) Ak1(S j ) Rk1(Si )
其中：
分别是由
Rk1 (Si ), Ak1 (S j )
要素组成的子图求得的可
达P集和L先0行集L。1 Lk 1
强 • 强连通划分π3(L)：级间分解后，每级要素中可能有强连通要素， 连 一般构成一个回路，只需选择一个要素即可。 通 划 分
11
11,12
1,2,6,7,8,10
12
12
1------12
R(Si) ∩A(Sj)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R(2)∩R(6)∩R(7)∩R(8)∩R(9)≠ φ 共同集合不存在空集，所以没有区域之分。 首先找出R（12）= R（12） ∩ A（12） 所以第一层次为要素12 第二层次为要素10，11 第三层次为要素1，3，4 第四层次为要素2，6，7，8，9
动
谐震动。
T 2
L G
的
类
mg
似
模
型
• L-C电路，电路中q(t)st:
L
d 2q dt 2
1 LC
q
Hale Waihona Puke 0LC• 解简谐是以震动。T 2 LC 为周期的
L-C电路图
Ll
1 C
g
一一对q应(t)模拟。 (t)
启 发 性
• 蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件，即对 于所求的值应该设定什么样的概率过程为题进行求解的技术方 法。
#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，
0 ×0 =0，0 ×1 =0，1 ×0 =0， 1× 1=1
4 可达矩阵的分解（建立ISM模型)
区 域 分 解
• 区域分解π1(S)——将要素分成区域，不同区域的要素相互间 是没有关系的。
• 首先将R中的元素划分为可达集和先行集
A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj)
3
3
3
3
7
7
7
7
该表的最高级，即为可达矩阵的第三级要素为：L3={3,7} 这样，经过三级划分，将R中的7个单元划分成三层次，即
(
强
π2(P)={L1，L2，L3}
连
通
划 分
{4，6 }属强连通块。
)
作出递阶有向图（层次结构图）
L1
1
L2
2
L3
7
5
4
6
3
三
案例：人口系统影响总人口增长问题
出生率
总人口
死亡率
生育能力
思想风俗
计生政策
期望寿命
保健水平
营养水平
国民收入
国民素质
人口系统解析结构模型
环境污染
已知可达矩阵M，试用规范方法建立其递阶结构模型。
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0
M 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0
3可达矩阵R——用矩阵形式反映有向连接图各节点之间通过一定
路 Sj 径可以到达的a程ij度。01,,
si si
Rs j Rs j
Si经若干路径到达
否则
建
立
rij 10
• 可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过一定的运算后求得。
• 即有 A1 =A+I • 再设 A2 =(A+I)2 (用布尔代数运算规则) • 一般地，通过依此运算后，可得：
模 • 构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。
型 • 对可达矩阵进行分解，建立结构模型。
• 由结构模型转化为解析结构模型。
1有向连接图——由若干节点和有向边连接而成的图象，即为节点
二
和有向边的集合。表示为：G={S，E}
、 2邻接矩阵A——描述图中节点两两之间的直接关系。A中元素
解
析
结 构 模 型 的
值
一
第8节 结构模型（Structure Model）
结
构 模 型
• 在开发和改造一个系统时，首先需要了解系统中各要素间存在 怎样的关系，即了解和掌握系统的结构，即建立系统的结构模 型。
的 概 念
1 结构模型——就是用有向连接图来描述系统各要素间的关系， 以表示一个作为要素集合体的系统模型。
及
性
质
间 分
一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成。若Si是最上层单元， 需满足：
解
• 找 剩出 下最 的高 可一达级矩R要阵(素中S后寻i ，找) 将新其的R从最(可 高S达 级i矩 要)阵 素 中 ，A划 依去 此(S相 类j应 推)的 。行与列，在从
• 级间划分可用下式表示：
• 若定义2 (：PL)0 =φ，L则1 ：, L2 , , Lk
R(Si) ∩ A(Sj) = R(Si)
1
5
1 (P) P1 , P2 s3 , s4 , s5 , s6 ,s1 , s2 , s7
接
因 所为 以： ，SS1，1，SS5满5分足属：两区域的最高R层( S次i。)
R(
即；
S
i
)
A(S j )
例 • L1 ={S1，S5}
• 再有N-L0 –L1进行第二级分解。
、 • 新中国成立以来，人们的期望寿命有了较大提高，相对死亡率降低了，国民
解
收入的不断增长，生活水平不断提高，计划生育政策贯彻不力等等，导致我
析
国人口速度增长过快。为此，成立了各方面人员参加的研究小组对人口增长
结
问题进行了研究，主要任务为：
构 • 应用ISM讨论和确定我国总人口增长的影响因素；
模 • 根据经验和对话建立可达矩阵，解析结构模型；
分接 ）例
可 达 矩 阵 分 解 （ 区 域 划
I=(j) R(Si)
A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj)
T= A(Sj)
11
1,2,7
1
2 1,2
2,7
2
3 3,4,5,6 3
3
3
4 4,5,6
3,4,6
4,6
55
3,4,5,6 5
6 4,5,6
3,4,6
4,6
7 1,2,7
7
7
7
因为：R(3) ∩ A(7)=φ，则S3，S7分属不同区域，所以，区域划分为：
0 0 0 1 0 1 1
（三）建立递阶结构模型的规范方法
• 建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵 M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取 和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本 方法。
• 现以例3.8.3所示问题为例说明： • 与图3.8.3对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：
可
达
矩 阵
i=(j)
R(Si)
A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj) 该表的最高
分 解
2
（3
2
2，7
2
3，4，6 3
3
级，即为可 达矩阵的第 二级要素
级4
间6
分 解
7
4，6 4，6 2，7
3，4，6 3，4，6 7
4，6 4，6 7
L2={2,4,6}
• 由N-L0-L1-L2,得：
i=(j)
R(Si)
（1）要素Si的可达集R(Si)——R中第Si行矩阵元素为1对应的列要 素的集合。即：
(N为节点R集(S合i ，) rij=S1表j 示
N
Si
与rijSj关1联)
（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj 列矩阵元素为1所对应的行要 素的集合。即：
A(S j ) Si N rij 1
11
1
达
1
1
矩 阵
11
1
I=j
R(Si)
A(Sj)
1
1,11,12
1,2,6,7,8
2
1,2,3,11,12
2
3
3,10,12
2,3,6,8
4
4,10,12