相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FED CBA 【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ，说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD •=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
A DB F【随堂训练】1.如图，若ABAE= ，则△AEF∽△ABC，理由是 .2.在△ABC与△DEF中，已知AB=3，BC=2，DE=6，EF=4，再补充条件∠=∠，就可以判定△ABC∽△DEF .3.如图，AD=6，AE=8，EC=4，则当BD= 时，△ADE∽△ACB.4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且32==ABADACAE，若DE=4㎝，则BC= ㎝.5.D是△ABC边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则还须具备的条件是（）A.AC：CD=AB：BCB.CD：AD=BC：ACC. CD226.判断题：（1）相似三角形的对应角相等( )（2）相似三角形的高的比等于相似比( )（3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比( )（4）△ABC和△A1B1C1的中线AD：A1D1=k,则AB: A1B1=k( )7.已知：如图，在ABC△中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E，:1:3AD AB=．若2DE=，则BC=_________．8.下列判断正确的是（）A.两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似9、如图△ABC中，DE∥BC，AE=1，AC=2，则S△ADE：S△ABC=（）A、1：2B、1：3C、1：4D、1：910．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）ADCD＝ABAC；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A、3个B、2个C、1个D、0个题10 题11 题1211．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）A、AE⊥AFB、EF︰AF＝2︰1C、AF2＝FH·FED、FB︰FC＝HB︰ECFBA第1题CE第3题BDEAC第4题BD EAC7、9图ACDB第五题12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A、△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周B、△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积C、△ABE∽△DECD、△ABE∽△EBC13．ACD∆∽ABC∆，则下列各式成立的是（）A、ABADAC⋅=2B、DBADCD⋅=2C、BCABCDAC::=D、ACBCADCD::=14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。
其中两个图形一定相似的是( )A．四组 B．三组 C．两组 D．一组二、填空题1．已知，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．2．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝21FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题2 题33．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．题4 题55．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．6.两个相似三角形对应高的比为 1∶3，则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；7．在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶3，则BD∶A′C′=________．三、解答题1、如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，求AB∶AC2、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.ABCD E3.如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。
4.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 上的一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD=8，BC=18，试求AE ：EB 的值。
5．已知在△ABC 中，△ABC ∽ADE ，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，求AC 和EC 的长 。
相似三角形提高练习一、选择题4. 如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ）A ．65 B ．95 C ．125 D ．1655. 如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶， A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5A OBCD A B CD EF`1 2 34.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.22cm B.24cm C. 28cm D. 216cm 5.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DOAO等于（ ） A ．352 B ．31 C ．32 D ．216.一张等腰三角形纸片，底边长cm 15，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张 C.第6张 D ．第7张 7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30㎝，AB=50㎝，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A.24B.25C.26D.274 5 6 78.如图，在Rt ABC△中，90ACB∠=°，3BC=，4AC=，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．32B．76C．256D．29.如图所示，已知点E F、分别是ABC△中AC AB、边的中点，BE CF、相交于点G，2FG=，则CF 的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．68 9二、填空题1、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．2、如图，Rt ABC△中，90ACB∠=°，直线EF BD∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若13AEG EBCGS S=△四边形，则CFAD=．3、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．AF ECB10 11 12三、解答题1、已知：P为平行四边形ABCD对角线AC上一点，过点P的直线与AD、BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E、F、G、H求证：PGPHPFPEHFGBDACPE2、已知：在三角形ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且ECAE=2，BE、CD相交于点F，求EFBFFDEAB3、已知：在三角形ABC中，AD=31AB，延长BC到F，使CF=31BC，连接FD交AC于点E，求证：（1）DE=EF，（2）AE=2CEEFDA4、如图，DE//BC ，ADE S ∆ =1，BDE S ∆ =1 求：ABC S ∆5、PD//AB 交AC 于D ，联结PA ，设BP=x, ADP S ∆=y 求：（1）y 与x 之间的函数关系式并写出x 的范围；（2）当x 为何值时，y=34?6、如图，D 是等边三角形ABC 的BC 上的一个动点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 是垂足 （1）求证：△BDE ～△CDE ； （2）求证：BDF S ∆=CDE S ∆；（3）设AB=1 ，BD=x ,求△BDF 的面积y 关于x 的函数解析式C7、已知：在正△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F 求证：(1) DC=AE ； (2) DF DC AD 2•=8、已知：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=90°，AB=2CD ，对角线BD ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作EF//AB 交AD 于E ，CF=4（1）求证：△DAB 为等腰三角形 （2）求AE 的长9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点相似三角形判定专项练习30题（有答案）页脚内容11 运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．（1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒；（3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？10、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y轴的正半轴上，且满足10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Bx。