函数的对称性专题练习试卷及解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题已知抛物线和214y x =21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数的取值a 范围是 ( )A. (1,3)B. (2,4)C. 3(,3)2 D. 5(,4)22.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题下图展示了一个由区间到实(0,1)数集的映射过R 程：如图1，在区间中数轴(0,1)上的点对应实M 数m ；如图2，将线段围成一AB 个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴y 上，点A 的坐标为(0,1)，射线与轴交于AM x 点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法：① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数；③ ()f x 在定义域上是单调函数； ④11()42f =； ⑤ ()f x 的图象关于点1(,0)2对称． 其中正确命题的序号是（ ）A. ②③⑤B. ①③⑤C. ①③④D. ③④⑤3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 定义在上的函R 数的图像关于()f x 直线32x =对称，且对任意实数x 都有3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(2013)(2014)(2015)f f f ++=（ ）A. 0B. 2-C. 1D. 24.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 已知函数1sin ()()x xxf x x R πππ-=∈+，下列命题：①函数既有最大()f x 值又有最小值； ②函数的图象是()f x 轴对称图形；③函数在区间上()f x [,]ππ-共有7个零点； ④函数在区间上()f x (0,1)单调递增．其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题已知定义在上R 的函数满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程在区间()()f x g x =[8,3]-上的所有实根之和为________．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题已知函数()()5sin 2f x x φ=+，若对任意x R ∈，都有()()f x f x αα+=-，则_____4f a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题 已知函数32()1f x x ax =+-（a R ∈是常数）．(1)设3a =-，1x x =、2x x =是函数的极值()y f x =点，试证明曲线关()y f x =于点1212(,())22x x x xM f ++对称； (2)是否存在常数a ，使得[1,5]x ∀∈-，|()|33f x ≤恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：，对于曲线上任()y f x =意一点P ，若点关于的对P M 称点为Q ，则Q 在曲线()y f x =上．）8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 已知函数的图(),xf x e x R =∈象与的图象关()g x 于直线y x =对称.(1)若直线与的图1y kx =+()g x 像相切, 求实数k 的值； (2)判断曲线与曲()y f x =线公共点的个2112y x x =++数. (3)设a b <，比较与的大小()()2f a f b +()()f b f a b a--，并说明理由.9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题如果函数的定()y f x =义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数使得a ()()f x a f x +=-成立，则称此函数具有“()P a 性质”．(1)判断函数是否sin y x =具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”求出所有的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由．(2)已知()y f x =具有“(0)P 性质”，且当0x ≤时2()()f x x m =+，求在上的最大()y f x =[0,;1]amp 值．(3)设函数()y g x =具有“(1)P ±性质”，且当1122x -≤≤时，()g x x =．若与交点个数()y g x =y mx =为2013个，求m 的值．答案和解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题 答案：D分析：转化为方程有解问题求解，由选项可知实数的最大取值a 范围是(1,4)，则必有一对关于轴对称的点y 满足；联立214y x =和21516y x =-+，解得4x =或4-，则另外一对是抛物线214y x =，(4,0)x ∈-上的一点和21516y x =-+，(0,4)x ∈，再将这两点关于y 轴对称，共3对，设 20001(,),(4,0)4P x x x ∈-，则点关于点的P A 对称点2001(,2)4Q x a x --在21516y x =-+，(0,4)x ∈上，所以22200011325,25(5,8)41616a x x a x -=-+=+∈，则5(,4)2a ∈，故选D .2.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题 答案：B 分析：3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 答案：A分析：由3()()2f x f x =-+得3()()2f x f x +=-， 即3(3)()()2f x f x f x +=-+=， 即函数的周期是3， 则(2013)(2014)(2015)(6713)(67131)(67132)f f f f f f ++=⨯+⨯++⨯+(0)(1)(2)f f f =++，因为函数的图象关于直线对32x =称， 所以33()()22f x f x +=-， 则3131()()2222f f +=-， 则(2)(1)f f =，因为(2)(23)(1)1f f f =-=-=，所以(0)(1)(2)(0)2(2)220f f f f f ++=+=-+=， 故(2013)(2014)(2015)0f f f ++=， 故选A ．4.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 答案：①②③分析：设11()sin ,()g x x h x πππππ-==+，则且为周期函()[1,1]g x ∈-()g x 数，()h x ∈，当且仅当12x =时，()h x ，且当x →-∞或x →+∞时，()0h x →，则在平面直角坐标系内作出()()()f x g x h x =⋅的图像如图所示，由图易得既有()f x 最大值又有最小值，①正确；111(1)11sin sin (1)sin sin ()(1)0x x x xf x f x ππππππππππππππππππππ---------=-=-=++++，所以是以为对()f x 12x =称轴的周对称图形，②正确； 由①得不存在零点11()x xh x ππ-=+，则的零点即为()sin g x x π=()f x 的零点，因为在内有个()sin g x x π=[,]ππ-7零点，所以在内有个()f x [,]ππ-7零点，③正确； 由图象易得在()f x (0,1)上不单调，④错误，综上所述，真命题的序号为①②③．5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题 答案：11-分析：由可知函数周(2)()f x f x +=()f x 期为2，作出两函数图象如下，观察图像可知两函数有个交5点，其中一个为3-，另外个关于点4(2,2)-对称，所以所有交点横坐标之和为222(3)11-⨯⨯+-=-．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题 答案：0 分析：7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题 答案：见解析分析：(1)32()31f x x x =--，2()36f x x x '=-解()0f x '=得10x =，22x =，1212(,())22x x x xM f ++即(1,3)M - 曲线上任意一()y f x =点关于对称的32000(,31)P x x x --M 点为32000(2,35)Q x x x --+-直接计算知，323200000(2)(2)3(2)135f x x x x x -=----=-+-，点Q 在曲线()y f x =上，所以，曲线关于点对()y f x =M 称(2)|()|33f x ≤即32|1|33x ax +-≤，3233133x ax -≤+-≤0x =时，不等式恒成立；0x ≠时，不等式等价于33223234x x a x x+--≤≤ 作31223232()x g x x x x +=-=--，32223434()x g x x x x -==-+，1364()1g x x '=-+，2368()1g x x'=--，解1()0g x '=、2()0g x '=得14x =、2x =1(1)31g -=-，1(4)6g =-，31232()x g x x +=-在的最大值为[1,0)(0,5]-⋃6-；2(1)35g -=，291(5)25g =-，32234()x g x x -=在的最小值为[1,0)(0,5]-⋃9125- 综上所述，a 的取值范围为91[6,]25--8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 答案：见解析分析：(1)由题意知()ln g x x =，设直线与相切1y kx =+()ln g x x =与点00(,)P x y ，则 00220001ln ,1()kx x x e k e k g x x-+=⎧⎪⇒==⎨'==⎪⎩.∴2k e -=(2)证明曲线与曲()y f x =线有唯一公共2112y x x =++点，过程如下. 令2211()()11,22x h x f x x x e x x x R =---=---∈， 则()1,()xh x e x h x ''=--的导数()1xh x e ''=-且(0)0,(0)0,(0)0h h h '''=== 当0x <时，()0()h x y h x '''<⇒=单调递减，当 0x >时，()0()h x y h x '''>⇒=单调递增.()(0)0y h x h ''⇒=≥=， 所以在上单调()y h x =R 递增，最多有一个零点0x = ∴曲线与曲线只()y f x =2112y x x =++有唯一公共点(0,1). (3) 解法一：∵()()()()(2)()(2)()22()f a f b f b f a b a f a b a f b b a b a +--+⋅+--⋅-=-⋅-(2)(2)(2)(2)2()2()a b b a ab a e b a e b a b a e e b a b a --+⋅+--⋅-++--⋅==⋅⋅-⋅-令()2(2),0xg x x x e x =++-⋅>，则()1(12)1(1)xxg x x e x e '=++-⋅=+-⋅.()g x '的导函数()(11)0x x g x x e x e ''=+-⋅=⋅>，且(0)0g '=，因此()0g x '>，()g x 在上单调递增(0,)+∞，而(0)0g =∴在(0,)+∞上()0g x >，∴(2)(2)02()b a ab a b a e e b a --++--⋅⋅>⋅- ∴当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->- 解法二： ()()()()()()2()22()a b b a f a f b f b f a b a e e e e b a b a +--⋅+-⋅--=-⋅-以b 为主元，并将其视为x ，构造函数()()()2()()xaxah x x a e e e e x a =-⋅+-⋅->，则()(1)x a h x x a e e '=--⋅+，且()0h a '=∵()()xh x x a e ''=-⋅且0x a ->，∴()h x '在上单调递增(,)a +∞，∴当x a >时，∴()h x 在上单调递增(,)a +∞， ∴当x a >时，()()0h x h a >= ∴当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->-9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题 答案：见解析分析：(1)由sin()sin()x a x +=-得sin()sin x a x +=-，根据诱导公式得2()a k k Z ππ=+∈．∴sin y x =具有“()P a 性质”，其中2()a k k Z ππ=+∈．(2)∵()y f x =具有“(0)P 性质”，∴()()f x f x =- ．设0x ≥，则0x -≤，∴22()()()()f x f x x m x m =-=-+=-22()0()()0x m x f x x m x ⎧+≤=⎨-≥⎩， 当0m ≤时，∵ ()y f x =在[0,1]递增，∴ 1x =时2max (1)y m =-，当102m <<时，∵ ()y f x =在[0,]m 上递减，在[,1]m 上递增，且22(0)(1)(1)f m f m =<=-，∴1x =时2max (1)y m =-， 当12m ≥时，∵()y f x = 在[0,]m 上递减，在[,1]m 上递增，且22(0)(1)(1)f m f m =≥=-，∴0x = 时2max y m =综上所述： 当12m <时， 2max (1)(1)y f m ==-；当12m ≥时，2max (0)y f m ==. (3)∵()y g x =具有“(1)P ±性质”， ∴(1)(),(1)()g x g x g x g x +=--+=-，∴(2)(11)(1)()g x g x g x g x +=++=--=，从而得到是以()y g x =2为周期的函数．又设1322x ≤≤，则11122x -≤-≤， ()(2)(11)(1)11(1)g x g x g x g x x x g x =-=-+-=-+=-+=-=-． 再设11()22n x n n z -≤≤+∈， 当112(),2222n k k z k x k =∈-≤≤+则11222x k -≤-≤， ()(2)2g x g x k x k x n =-=-=-；当21()n k k z =+∈，11212122k x k +-≤≤++则13222x k ≤-≤， ()(2)21g x g x k x k x n =-=--=-； ∴对于，11()22n x n n z -≤≤+∈，都有()g x x n =-， 而11111,(1)(1)(1)()22n x n g x x n x n g x +-≤+≤++∴+=+-+=-=，∴()y g x =是周期为的函1数．①0m >时，要使得与有个y mx =()y g x =2013交点，只要与在有一y mx =()y g x =[1006,;1007]amp 个交点．∴ y mx =过20131(,;)22amp ，从而得12013m = ②当0m <时，同理可得12013m =- ③当0m =时，不合题意． 综上所述12013m =±.。